Пример решения задачи 3
Date: 2015-10-07; view: 384.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Требуется: 1) найти её решения с помощью формул Крамера;
2) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления;
3) решить систему методом Гаусса.
Решение:1) Рассмотрим матрицу системы линейных уравнений 
.
Главный определитель матрицы d = 
= 2 ×3 × 1 + 1 × (–2) × 1 + 1× 3 ×
∙ (–1) – (–1) × 3 × 1 – 1× (–2) × 2 –1× 3 ×1 = 5 (вычислили по правилу треугольника).
Так как d = 5 ¹ 0, то система имеет единственное решение, которое и можно найти по формулам Крамера. Для системы трех уравнений с тремя неизвестными формулы Крамера имеют вид: 
где d1, d2 и d3 – получаются из определителя d заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец из свободных членов. Составим и вычислим эти определители, используя, например, правило треугольника.
,
,
.
По формулам Крамера получаем:
, 
, 
.
2) Данную систему можно представить в матричном виде: А×Х=В,
где 
– матрица системы уравнений, 
– матрица-столбец из неизвестных, 
– матрица-столбец из свободных членов.
Умножим слева обе части уравнения на А–1, где А–1 – обратная для матрицы А матрица. Тогда 
. Значит, решение матричного уравнения А×Х=В будем искать в виде Х=А–1× В, где А–1 – матрица, обратная матрице А.
Так как определитель матрицы А не равен нулю (d=5), то обратная матрица существует и равна: 
,
где 
– алгебраическое дополнение для элементов исходной матрицы.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
; 
; 
;
;
; 
; 
; 
; 
.
Получаем 
. Тогда
.
3) Решим систему методом Гаусса, для это расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приведем ступенчатому виду: 
. Для удобства поменяем местами первую и последнюю строки.
 |
~ 
- поменяем местами вторую и третью строки, получим: 
.
Этой матрице соответствует система 
.
Из последнего уравнения находим 
. Подставляя данное значение во второе уравнение, находим 
. Подставляя найденные значения в первое уравнение, находим 
Ответ: х = 3; y = 1; z = 2.
Задача 4. Найти общее решение системы.
1.
а) 
b) 
| 2.
a) 
b) 
|
3.
a) 
b) 
| 4.
a)
b) 
|
5.
a) 
b) 
| 6.
a) 
b) 
|
7.
a) 
b) 
| 8.
a) 
b) 
|
9.
a) 
b) 
| 10.
a) 
b) 
|
11.
a) 
b) 
| 12.
a) 
b) 
|
13.
a) 
b) 
| 14.
a) 
b) 
|
15.
a) 
b) 
| 16.
a) 
b) 
|
17.
a) 
b) 
| 18.
a) 
b) 
|
19.
a) 
b) 
| 20.
a) 
b) 
|
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Задача 3. | | | Пример решения задачи 4 |