Первый семестр, математики, 2010 год

Date: 2015-10-07; view: 463.

Программа коллоквиума по курсу теории чисел

1. Бинарная операция. Понятие алгебраической структуры. Изоморфизм алгебраических структур. Подструктуры. Примеры.

2. Определение группы и подгруппы. Критерий подгруппы. Простейшие свойства в группе. Примеры.

3. Кольцо, типы колец, подкольцо, критерий подкольца. Примеры.

4. Поле, типы полей, характеристика поля. Примеры.

5. Линейное пространство, подпространство. Примеры.

6. Основная теорема арифметики в Z

Формулировка. Доказательство существования разложения. Схема доказательства единственности.

7. Теорема о делении с остатком в Z/

8. Н.О.Д. в Z. Существование и единственность Н.О.Д.

9. Алгорифм Евклида в Z.

10. Взаимно-простые числа. Свойства.

11. Область целостности. Единицы ( обратимые элементы) кольца. Примеры.

12. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество..

13. Ассоциированные элементы в области целостности. Свойства.

14. Построение кольца классов вычетов.

15. Критерий существования делителей нуля в кольце классов вычетов. Поле классов вычетов.

16.** Идеалы коммутативного кольца. Понятие делимости на языке идеалов. Свойства делимости на языке идеалов.

17.**Кольцо главных идеалов. Основное свойство кольца главных идеалов.

18.* *Основная теорема теории делимости в кольце главных идеалов. Доказательство существования.

19.** Основная теорема теории делимости в кольце главных идеалов. Единственность.

20. *Определение евклидова кольца. Основная теорема теории делимости в евклидовом кольце Доказательство существования.

21.* Н.О.Д. элементов и алгоритм Евклида в евклидовом кольце.

22.* Взаимно-простые элементы в Евклидовом кольце. Свойства. Доказательство единственности в основной теореме теории делимости.

23. Сравнение в Z. Свойства.

24.* Сравнение по модулю идеала в коммутативном кольце. Свойства.

25.* Фактор-кольцо коммутативного кольца по идеалу. Свойства.

26. Системы вычетов в Z. (полная и приведённая) Свойства.

27. Группа обратимых элементов ( единиц ) кольца классов вычетов по модулю m.

28. Теоремы Ферма и Эйлера.

29.* Вычисление функции Эйлера.

30.* Арифметические функции. ( число делителей, сумма делителей, функция Мёбиуса, функция Эйлера ) Формулы.

31. Решение сравнений первой степени в Z.

32.Китайская теорема об остатках.

33. Сравнения высших степеней. Лемма Хензеля.

34. Сравнения по простому модулю. Сведение сравнения второй степени к двучленному сравнению.

35. Теорема Вильсона.

36. Квадратичные вычеты и невычеты. Квадратичный критерий Эйлера.

37. Символ Лежандра. Свойства.

38. *Лемма Гаусса о символе Лежандра.

39. *Второе дополнение к квадратичному закону взаимности ( вычисление символа Лежандра для 2)

40.* Квадратичный закон взаимности. Доказательство для нечетных простых чисел.