Базис скінчено вимірного векторного простору. Координати векторів.

Date: 2015-10-07; view: 528.

Означення 12. Базисом -вимірного векторного простору називається довільна впорядкована лінійно незалежна система із векторів цього простору.

Зауваження 1. З означення випливає, що у векторному просторі існує безліч базисів.

Зауваження 2. Базис називають ще впорядкованою максимально лінійно незалежною системою векторів у просторі. Слово «максимально» тут означає, що до системи базисних векторів неможливо приєднати жодного вектору простору так, щоб система залишалась лінійно незалежною.

Теорема. Кожний вектор -вимірного векторного простору може бути поданий у вигляді лінійної комбінації векторів базису, причому таке подання єдине.

Доведення. Нехай – деякий базис векторного простору . Нехай . Тоді система векторів є лінійно залежною, тобто існує нетривіальна лінійна комбінація: . В цій лінійній комбінації коефіцієнт , інакше і тоді система векторів – лінійно залежна, що суперечить умові. Отже, маємо: , тобто вектор є лінійною комбінацією базисних векторів. Покажемо, що таке подання єдине. Від супротивного припустимо, що існує два різних розклади вектора по системі базисних векторів: та . Звідси випливає, що , а оскільки вектори лінійно незалежні, то .

Означення 13. Якщо – базис векторного простору і – розклад деякого вектору по базису , то коефіцієнти цього розкладу називаються координатами вектора в базисі .

З доведеної вище теореми випливає, що будь-який вектор простору однозначно визначається своїм набором координат у вибраному базисі. Це дозволяє повністю абстрагуватись від самої природи векторного простору і мати справу лише з наборами координат замість векторів. Крім того, це вказує на певну «схожість» всіх векторних просторів однакової розмірності. Пізніше ми доведемо теорему, в якій ця схожість називатиметься ізоморфізмом векторних просторів.

Зауваження. Координати вектора будемо записувати як вектор-стовпчик, позначаючи їх наступним чином: .

Наслідки з теореми.

1. Координати будь-якого вектору простору у фіксованому базисі визначаються однозначно.

2. Два вектори рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх координати у фіксованому базисі.

3. Якщо та розклади довільних векторів простру по базису , то вектор в цьому базисі матиме координати , а вектор – координати

. Доведіть цей факт самостійно.

4. Система векторів простору лінійно незалежна тоді і тільки тоді, коли лінійно незалежна система вектор-стовпчиків їх координат. Доведіть це самостійно.