Системи координат в просторі геометричних векторів.

Date: 2015-10-07; view: 502.

Повернемось у тривимірний простір геометричних векторів. Очевидно, базис в ньому утворюють довільні три не компланарні вектори (нагадаємо, що компланарними називаються три вектори, які паралельні одній площині). Отже, виберемо три не компланарних вектори та зведемо їх до спільного початку – деякої точки О. Одержимо загальнуафіннусистему координат. Якщо три базисних вектори взаємно перпендикулярні, система координат називається прямокутною. І нарешті, якщо у прямокутній системі координат базисні вектори мають одиничну довжину, маємо знайому із школи ПДСК – прямокутну декартову систему координат. Базисні вектори в ній позначаються, як вже згадувалось вище, , а координати вектора називаються відповідно абсциса, ордината та апліката. Будемо позначати їх наступним чином: .

Якщо розглядаються лише вектори, що належать одній площині, то крім ПДСК на площині використовують також полярну систему координат. Вважатимемо, що цей матеріал добре засвоєний у курсі математичного аналізу.

Приклад. Точки K та L – середини сторін AB та BC паралелограма OABC. Довести, що точка перетину діагоналей паралелограму співпадає з точкою перетину медіан трикутника OKL.

Ведемо афінну систему координат на площині: точка О – початок, та – базисні вектори.

Позначимо М₁ – точку перетину діагоналей паралелограма OABC. Тоді за правилами додавання векторів маємо , тому . Тепер розглянемо трикутник OKL. Позначимо М₂ – точку перетину медіан цього трикутника (див. мал.). Маємо , . Для паралелограма OKО₁L діагональ OО₁ визначається як сума сторін-векторів: . Тоді медіана OD трикутника OKL – це половина даної діагоналі: . Як відомо медіани трикутника в точці перетину діляться у співвідношенні 2:1, тому для точки їх перетину справедлива рівність: , що означає векторну рівність , тому точки М₁ та М₂ співпадають.