Метод Гаусса решения СЛАУ

Date: 2015-10-07; view: 417.

Метод последовательного исключения неизвестных часто применяется при решении всевозможных систем уравнений, в частности, тех, которые встречаются в школьном курсе математики. Если выразить, например, из первого уравнения системы (2.1) и подставить это выражение в остальные уравнения, потом выразить из второго “нового” уравнения, подставив это выражение в остальные “новые” уравнения и т.д., то через конечное число шагов мы получим уравнение, содержащее только . Найдя решение этого уравнения, путём обратной подстановки его в предыдущие “новые” уравнения можно найти значения всех неизвестных . Такова идеальная схема которая молчаливо опирается на целый ряд допущений (например, на то, что , иначе для отыскания не хватит уравнений).

Метод Гаусса в современном изложении представляет собой, во-первых, такую модификацию метода исключения неизвестных, которая позволяет исследовать любые системы вида (2.1). А, во-вторых, алгоритм Гаусса, используя аппарат алгебры матриц, даёт такую формализацию метода исключений, которая позволяет существенно сократить объём выкладок, резко возрастающий вместе с ростом числа уравнений и числа неизвестных .

Прежде чем приступить к изложению метода Гаусса в общем случае, продемонстрируем его на простом примере.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

.

Вычитая из второго уравнения 4 первых, получаем систему

.

Разделив обе части второго уравнения на (-17), приходим к системе

.

Наконец, вычитая из первого уравнения 3 вторых, получаем систему уравнений

,

которая определяет единственное решение исходной системы

.

Теперь повторим проделанные преобразования на расширенной матрице исходной СЛАУ, заменяя каждое преобразование соответствующим строчным

элементарным преобразованием:

.

Заметим, что итогом проведённых преобразований явилось поученное из основной матрицы системы матрицы приведённого вида, которая в данном случае совпала с единичной матрицей . Кроме того, в данном случае правые части последней системы уравнений образуют единственное решение исходной системы.

Перейдём к изложению метода Гаусса в общем случае.

Элементарными преобразованиями СЛАУ называются: перемена местами двух её уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения СЛАУ на число, отличное от нуля, добавление к левой и правой частям какого-либо уравнения соответственно левой и правой частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Метод Гаусса решения СЛАУ состоит в последовательном выделении в каждом уравнении неизвестного, которое после этого элементарными преобразованиями СЛАУ исключается из всех её остальных уравнений.

Поскольку каждой СЛАУ вида (2.1) можно поставить в соответствие её расширенную матрицу (2.5) и это соответствие взаимооднозначно, т.е. каждая матрица вида (2.5) является расширенной матрицей некоторой СЛАУ, вместо элементарных преобразований СЛАУ удобно проводить строчные элементарные преобразования её расширенной матрицы. Нетрудно заметить, что после выделения в одном уравнении некоторого неизвестного (это неизвестное называется ведущим в данном уравнении) и последующего его исключения из остальных уравнений СЛАУ, соответствующая строка её основной матрицы будет иметь приведённый вид. Поэтому будем говорить, что и уравнение, отвечающее этой строке матрицы, имеет приведённый вид. Если же каждое уравнение СЛАУ, содержащее хотя бы один ненулевой коэффициент, имеет приведённый вид, будем говорить, что СЛАУ имеет приведённый вид.

Ясно, что в этом случае основная матрица СЛАУ тоже имеет приведённый вид.

Алгоритм метода Гаусса распадается на 3 этапа:

1) построение СЛАУ приведённого вида, равносильной исходной СЛАУ;

2) анализ СЛАУ приведённого вида;

3) описание общего решения.

Следующее предложение является обоснованием применимости метода Гаусса к любой СЛАУ.

Предложение 2.1. Для любой СЛАУ вида (2.1) существует равносильная ей СЛАУ приведённого вида.

◄ В силу предложения 1.3 найдётся конечное число строчных элементарных преобразований, применяя которые к матрице , мы получим матрицу приведённого вида. По свойству 5) элементарных преобразований существует такая матрица , что . Заметим, что матрица является произведением элементарных матриц, отвечающих указанным выше элементарным преобразованиям. Применив те же самые элементарные преобразования к расширенной матрице системы уравнений (2.1), получаем матрицу системы уравнений приведённого вида

.

Переходя к соответствующим матричным уравнениям и , замечаем, что в силу предложения 1.9 они равносильны. Следовательно, равносильны и отвечающие им системы уравнений. ►

Лекция VII.

План

2.3 Анализ СЛАУ приведённого вида и описание общего решения

2.4 Однородные СЛАУ

2.5 Решение матричных уравнений методом Гаусса

2.6 Отыскание обратной матрицы методом Гаусса