Классификация СЛАУ

Date: 2015-10-07; view: 963.

Гл. 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Г.

Системы линейных алгебраических уравнений

Модуль 2

Часть 1

Методическое пособие первокурснику

Лекции и практика

Алгебра

В.Б. Дыбин

Матричное исчисление, построенное в лекциях I-V, позволяет провести первичное исследование систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), опирающееся на метод, носящий имя великого немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855).

Поскольку СЛАУ можно трактовать как матричное уравнение специального вида, обоснование метода Гаусса даётся на языке элементарных матриц и матричных уравнений. В свою очередь, метод Гаусса позволяет построить удобный алгоритм решения ряда матричных уравнений, в частности, алгоритм вычисления обратной матрицы.

Лекция VI.

План

2.1 Классификация СЛАУ

2.2 Метод Гаусса решения СЛАУ

Системы линейных алгебраических уравнений составляют основной аппарат линейной алгебры, а их исследование основано на алгебре матриц.

Общий вид системы линейных уравнений с неизвестными даётся формулами

(2.1)

В этих формулах называются неизвестными, – коэффициентами при неизвестных, – свободными членами (или правыми частями). Коэффициенты порождают матрицу

, (2.2)

которая называется матрицей (или основной матрицей) СЛАУ (2.1), . Неизвестные , порождают столбец неизвестных

, (2.3)

а правые части – столбец правых частей

. (2.4)

Матрица

(2.5)

называется расширенной матрицей СЛАУ (2.1).

Арифметический вектор

.

называется решением СЛАУ (2.1), если при подстановке чисел в уравнения (2.1) соответственно вместо мы получаем систему верных числовых равенств.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотябы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если СЛАУ имеет только одно решение, она называется определённой, а если число решений больше 1 – неопределённой.

В результате мы получаем следующую классификацию СЛАУ. Пусть

– множество решений СЛАУ, а – мощность (число элементов) множества

. Тогда

Если все правые части СЛАУ равны нулю, , она называется однородной, в противном случае СЛАУ называется неоднородной. Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение

.

Множество всех решений СЛАУ будем называть её общим решением, а одно фиксированное решение – частным решением. СЛАУ вида (2.1) иногда удобно представлять в виде матричного уравнения

. (2.6)

где – матрица вида (2.2), – вектор-столбец вида (2.3), а – вектор-столбец вида (2.4). Для того чтобы убедиться, что уравнения (2.6) и СЛАУ (2.1) равносильны (т.е. одновременно неразрешимы или разрешимы, причём в последнем случае их решения совпадают), достаточно в левой части равенства (2.6) провести умножение матрицы на вектор-столбец . Применив после этого принцип равенства матриц, получаем, что матричное равенство (2.6) эквивалентно системе равенств (2.1).