Гл. 3. Определители

Date: 2015-10-07; view: 458.

Г.

Определители

Модуль 3

Часть 1

Методическое пособие первокурснику

Лекции и практика

Алгебра

В.Б. Дыбин

Задачники и дополнительные методические материалы.

Историческая справка

Метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений был впервые описан К. Гауссом в 1849 г. Однако, уже во II веке до н.э. в Китае был известен близкий метод под названием «фан-чен», что переводится как «выстраивание чисел по клеткам».

Основная литература.

1. Дыбин В.Б. 12 лекций по алгебре. Пособие для первокурсника. 2006. Электронная форма.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М: Наука, 1973.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: Физико- математическая литература, 2000.

4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М: Наука, 1972.

5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М: Лаборатория базовых знаний, 2001.

6. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006.

Мы приступаем к изучению одного из самых трудных понятий, связанных с матрицами, понятия определителя. Каждой квадратной действительной матрице можно поставить в соответствие действительное число, которое по специальной формуле выражается через элементы этой матрицы и называется её определителем. Определители появляются в процессе построения формул для решения определённых СЛАУ с квадратными матрицами и имеют большое значение для линейной алгебры. В связи с этим отметим только, что в терминах определителей в первой части курса будет получена формула обратной матрицы, а позже – изучены наиболее глубокие, так называемые спектральные свойства, квадратных матриц. Вместе с тем, определители давно уже стали общематематическим, а более точно общенаучным инструментом, так как без них немыслимы многие разделы не только математики, но и физики, экономики и др. В частности, позже мы увидим, как с помощью определителей, получаются формулы для площадей фигур и объёмов тел.

Содержание ближайших лекций распадается на 3 части. Вначале необходимо провести некоторую подготовку для того, чтобы дать определение определителя произвольного порядка. Для этого мы изучим простейшие свойства отображений множеств и так называемых перестановок -той степени. Поскольку формула определителя -ого порядка достаточно сложна и вычисления по этой формуле слишком громоздки, а поэтому нецелесообразны в общем случае, основную часть времени мы потратим на изучение свойств определителя и построение эффективного алгоритма их вычисления. В последнем случае вновь большую роль будут играть приёмы, связанные с методом Гаусса, что ещё раз подчеркивает глубокую связь между теорией определителей и теорией СЛАУ. Наконец, после этого будут рассмотрены первые приложения определителей в алгебре матриц и теории СЛАУ, в частности, будет получена формула обратной матрицы.

Лекция VIII.

План

3.1 Появление определителей в теории СЛАУ.

3.2* Отображения.

3.3 Перестановки -той степени.

3.4 Четные и нечетные перестановки.

3.5 Суммирование по множеству.