Появление определителей в теории СЛАУ

Date: 2015-10-07; view: 433.

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

(3.1)

и применим к ней метод исключения неизвестных в общем виде, налагая при необходимости соответствующие ограничения на её коэффициенты.

Умножим первое уравнение на и вычтем из него второе уравнение, умноженное на . Получим, что

.

Полагая , имеем

. (3.2)

Теперь умножим второе уравнение на и вычтем из него первое уравнение, умноженное на . Получим, что

,

то есть

. (3.3)

Выражение

называется определителем матрицы

и обозначается специальным символом

. (3.4)

Определитель вида (3.4) называют также определителем второго порядка. Заметим, что выражения, стоящие в числителях формул (3.2) и (3.3), также являются определителями второго порядка,

, .

Это позволяет переписать формулы (3.2) и (3.3) в виде

, . (3.5)

Формулы (3.5) называются формулами Крамера. Напомним, что они получены нами в предложении, что .

Вместо системы (3.1) можно рассмотреть систему третьего порядка и, проводя исключение двух неизвестных в каждом из трёх уравнений, получить формулы Крамера и для этого случая. В этих формулах уже будут участвовать определители третьего порядка (см. [3], Гл.I, §4). Позже, построив теорию определителей произвольного порядка, мы выведем формулы Крамера для системы уравнений с неизвестными.