Теоретическое введение

Date: 2015-10-07; view: 476.

Цель работы

Решение матричных уравнений

Решение матричного уравнения

Решить матричное уравнение:

X ⁢ A = B

где А - заданная квадратная матрица,
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ В - заданная прямоугольная матрица,
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ Х - искомая матрица.

A = ( 4 -6 7 -6 9 -11 4 6 9 ) , B = ( -84 42 -167 92 -126 167 )

Провести поэтапный контроль:
- расчета обратной матрицы A^-1 умножением A на A^-1;
- найденного решения Х подстановкой в исходное уравнение.

1. Нахождение обратной матрицы.
2. Решение матричного уравнения c помощью обратной матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. При сложении матриц складываются их соответствующие элементы,а при умножения матрицы на число на него умножается каждый элемент этой матрицы.

.

(1)

Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу cтрок матрицы B. В результате умножения получается матрица C = A · B, у которой столько же строк, сколько в матрице A, и столько же столбцов, сколько в матрице B :

Запишем матрицы A и B в виде

.
Обозначим элементы матрицы C = A · B через c, .
Тогда
.
По определению элемент c_{i j} , матрицы C = A · B равен скалярному произведению i-й строки матрицы A (i – первый индекс элемента c_{i j} ) на j-й столбец матрицы B ( j - второй индекс элемента c_{i j} ), т.е.

Наряду с матрицей A будем рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Эту матрицу называют транспонированной к A и обозначают через A^T .
Совокупность элементов a₁₁, a₂₂ , ..., a_{n n} , квадратной матрицы A = (a_{i j} ), n = m, называется главной диагональю матрицы.
Матрица, у которой моменты, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей, и обозначается буквой E. Так, единичная матрица 3-го порядка имеет вид
.
Единичная матрица обладает замечательным свойством:
умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную не меняет исходную матрицу т.е. A · E = E · A = A. Это свойства и объясняет ее название.
Матрица A^-1 называется обратной матрицей к квадратной матрице A, если

Если определитель |A| квадратной матрицы A не равен нулю, то существует и, притом единственная, матрица A^-1.