Применение матриц в теории игр

Date: 2015-10-07; view: 475.

Задачи

16. Вычислите определители .1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) .

17.Вычислите определители 4-ого порядка:

1) , 2) , 3) , 4) .

18.Найдите обратную матрицу, используя понятие алгебраического дополнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

19.Найдите обратную матрицу двумя способами:

1) , 2) , 3) .

20.Решите уравнения:

1) =0, 2) =0, 3) .

21. Решите уравнение :

1) если , ; 2) если , .

22.Решите уравнение , если:

1) , , 2) , .

4.2. Матричная алгебра в решении задач с экономическим содержанием

23.В некоторой отрасли имеется заводов, выпускающих видов продукции. Объем продукции каждого вида (в стоимостном выражении), производимой на этих заводах в 1-ом квартале, определяется матрицей , а во втором квартале – матрицей : и – объемы продукции -го типа, производимой на -ом заводе в 1-ом и 2-ом кварталах, соответственно. Найти:

объемы продукции каждого типа, выпускаемой на каждом из заводов;

прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если – курс доллара по отношению к рублю .

1) Решить задачу, если =4, =3, , .

2) Решите задачу, если =3, =4 и заданы матрицы помесячных выпусков продукции на каждом заводе: , , .

Решение. 1) а)Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц и :

, где – объем продукции -го типа, произведенной за полугодие на на -ом заводе.

б) Прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц:

. Отрицательные элементы матрицы показывают, что на заводе с номером объем производства -ого продукта уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.

с) Произведение дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому виду продукции (матрицу выпишите самостоятельно).

24.Предприятие производит видов продукции, объемы выпуска которых заданы матрицей . Цена реализации единицы -ого вида продукции в -ом регионе задана матрицей , – число регионов, в которых реализуется продукция предприятия. Найдите матрицу выручки по регионам и определите, с каким из них выгоднее сотрудничать. Решите задачу, если: 1) =3, = 4, , ;

2) =4, = 3, , .

Решение. 1)Выручка определяется матрицей = . Здесь – выручка предприятия в -ом регионе. Полученная матрица показывает, что предприятию выгоднее продавать продукцию во втором и четвертом регионах.

25.Предприятие выпускает видов продукции, используя видов сырья. Нормы затрат -ого вида сырья на производство единицы продукции -ого типа заданы матрицей затрат . Количество продукции каждого типа, выпущенной предприятием за определенный промежуток времени, характеризует матрица – столбец . Найдите матрицу полных затрат сырья каждого вида на производство всей продукции за данный промежуток времени. Решите задачу, если: 1) Нормы расхода сырья представлены в таблице

Сырье
Сырье

а количество выпущенной продукции описывает матрица ;

2) ; ; 3) , .

Решение. 1) Матрица имеет вид . Затраты сырья на выпуск всего объема продукции вычисляется как произведение матриц: . Таким образом,

.

26.Предприятие производит мебель трех видов и продает ее в четырех регионах. Матрица задает цену реализации единицы мебели -го типа в -ом регионе. Определите выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц (по видам) задана матрицей .

Теория игр – это недавно возникшая область математики, изучающая задачи о выработке оптимальной стратегии в той или иной конфликтной ситуации. Ситуация считается конфликтной, если в ней участвуют противоборствующие стороны, например, следователь и преступник, обвинитель и обвиняемый, группа захвата и задерживаемый. «Враждующие стороны» преследуют противоположные цели, и результат каждого мероприятия одной из сторон зависит от того, какие действия выберет «противник». Рассматриваемые в этой теории схемы охватывают как собственно игры, так и различные ситуации, возникающие из многих практических вопросов: рациональные производственные и экономические решения, вопросы военной тактики, вопросы выбора системы экспериментов.

Первые работы по теории игр были сделаны в 1909 году немецким математиком Э. Цермело (1871–1953). Большой вклад в становление этой теории внес Джон фон Нейман в1928 году: он сформулировал основные идеи и результаты и доказал основную теорему теории игр .значительное внимание задачам теории игр было уделено в годы второй мировой войны и непосредственно после нее.