Матричный способ.

Date: 2015-10-07; view: 528.

Задачи

Рис. 1

38. Решить систему методом Гаусса без применения правила Жордана- Гаусса:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Для вычислений удобнее, чтобы . Поэтому поменяем местами первую и вторую строки, после чего получим матрицу: . Умножим элементы первой строки на и на и прибавим их соответственно к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце получилась «ступенька» из нулей . Теперь умножим третью строку на и поменяем местами ее со второй строкой: . Теперь умножим вторую строку на 9 и прибавим ее к третьей строке: . Матрица системы приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид Из последнего уравнения находим . Подставляя во второе уравнение, найдем . Из первого уравнения вычисляем : .

Ответ: (1, 0, -2).

39. Решить систему методом Гаусса с применением правила Жордана- Гаусса:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Так как , то будем исключать переменную из всех уравнений, кроме первого. По правилу Жордана-Гаусса первая строка остается неизменной, в первом столбце все элементы, кроме , равны 0. Элементы второй строки , , , считаются следующим образом: , , , .

Аналогично находим элементы третьей строки: , , , . Таким образом получаем матрицу

.

В этой матрице . Поэтому исключим переменную из всех уравнений, кроме второго. Согласно правилу Жордана-Гаусса, вторая строка остается неизменной. Элементы второго столбца, за исключением элемента , равны нулю, а все остальные элементы вычисляются по мнемоническому правилу (см. рис.1 выше): , , , , , . Теперь имеем матрицу . Вычеркиваем нулевую строку и получаем матрицу системы, в которой содержится только в первом уравнении, а – только во втором: .

Переменные и будут свободными, а и через них выражаются: , . Общее решение системы имеет вид:

2. Правило Крамера

Применяется в случае, когда и . Решение находится по формулам ,

где – матрица, полученная из основной матрицы заменой -ого столбца на столбец свободных членов .

Задача 40. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

Решение 2.1. Определитель следоательно, согласно правилу Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц, полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

, , .

Теперь по формулам Крамера:

, , .

Этот способ решения использует запись системы в виде матричного уравнения . где – основная матрица системы, – матрица-столбец переменных, – матрица-столбец свободных членов. Если , то решение находится по формуле . Поскольку решение системы сводится к нахождению обратной матрицы, то этот способ решения называют также методом обратной матрицы

Задача 41. Решить систему методом обратной матрицы.

Решение. Выпишем основную матрицу и матрицу–столбец для данной системы: , . Матрица переменных . Тогда в матричной форме система имеет вид . Определитель основной матрицы поэтому обратная матрица существует: . Теперь найдем по формуле . Итак, .