Для несгруппированных данных

Date: 2015-10-07; view: 470.

Построение модели линейной регрессии

Лабораторная работа № 3

Цель работы: овладение способами построения моделей линейной регрессии для несгруппированных данных, выработка умения и навыков оценки надежности коэффициента корреляции, уравнения регрессии и его коэффициентов.

Содержание работы: на основании опытных данных требуется:

1. Построить корреляционное поле. По характеру расположения точек в корреляционном поле выбрать общий вид функции регрессии.

2. Вычислить числовые характеристики , , , , , .

3. Определить значимость коэффициента корреляции и найти для него доверительный интервал с надежностью .

4. Написать эмпирические уравнения линий регрессий на и на .

5. Вычислить коэффициент детерминации и объяснить его смысловое значение.

6. Проверить адекватность уравнения регрессии на .

7. Провести оценку величины погрешности уравнения регрессии на и его коэффициентов.

8. Построить уравнение регрессии на в первоначальной системе координат.

Выполнение лабораторной работы покажем, решая следующую задачу.

Задача. Результаты наблюдений изменения средней заработной платы (тыс. руб.) и производительности труда (тыс. руб.) по цеху технологической связи ТПЭУС № 1 по кварталам приведены в табл. 23.

Выполнение работы

Для решения поставленной задачи методами корреляционного анализа определим, какой из указанных в условии показателей выбрать за факторный признак, а какой за результативный. На основании экономического анализа производственной деятельности и взаимосвязи производительности трудаи средней заработной платы следует, что за факторный признак следует принять производительность труда, а среднюю зарплату за результативный признак .

Для определения формулы связи между признаками и в системе координат строим точки , пользуясь табл. 23.

Рис. 8

Около построенных точек проводим линию трэнда (пунктирная линия). По расположению точек около этой линии делаем вывод о том, что связь между производительностью труда и средней зарплатой может носить линейный характер. произведем расчет статистик , , , , , которые войдут в уравнения линий регрессий. Составим расчетную табл. 24

Таблица 24
24,3	-11,06	122,3236	8,2	-2,12	4,4944	590,49	199,26
24,9	-10,46	109,4116	8,6	-1,72	2,9584	620,01	214,14
28,1	-7,26	52,7076	8,7	-1,62	2,6244	789,61	244,47
30,5	-4,86	23,6196	8,9	-1,42	2,0164	930,25	271,45
31,5	-3,86	14,8996	9,1	-1,22	1,4884	992,25	286,65
39,3	3,94	15,5236	10,6	0,28	0,0784	1544,49	416,58
40,2	4,84	23,4256	11,3	0,98	0,9604	1616,04	454,26
43,5	8,14	66,2596	11,8	1,48	2,1904	1892,25	513,3
45,4	10,04	100,8016	12,9	2,58	6,6564	2061,16	585,66
45,9	10,54	11,0916	13,1	2,78	7,7284	2106,81	601,29
353,6		640,064	103,2		31,196	13143,36	3787,06

Пользуясь результатами последней строки табл. 24, находим:

— средняя производительность труда.

— средняя зарплата сотрудников цеха технологический связи.

, ,

, ,

,

.

Проверяем ”значимость” коэффициента корреляции. Вычислим статистику по формуле (59):

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение ) по уровню значимости и числу степеней свободы находим . Так как , то выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно предположить, что средняя зарплата и производительность труда рабочих связаны линейной регрессионной зависимостью. Подтверждением может служить рис. 8.

Находим доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции с надежностью . Так как объем выборки , то доверительный интервал находим по формуле (61):

.

Так как по условию надежность (доверительная вероятность) , то по таблице функции Лапласа (приложение) находим . Вычисляем среднюю квадратическую ошибку по формуле (60):

.

Записываем доверительный интервал: или . Следовательно, с вероятностью 0,95 линейный коэффициент корреляции генеральной совокупности находится в пределах от 0,71 до 1. Применительно к решаемой задаче полученный результат означает, что по имеющейся выборке следует ожидать влияние производительности труда на рост средней зарплаты работников цеха технологической связи не менее чем на 71 %.

Найдем эмпирические линейные уравнения регрессии на и на , которые являются приближенными уравнениями для истинных уравнений регрессий.

Уравнение регрессии на :

или .

Уравнение регрессии на :

или .

Контроль вычислений: .

. Так как выполняется условие , то вычисления проведены верно.

Из уравнения следует, что при увеличении производительности труда на 1 тыс. руб. средняя зарплата работников цеха технологической связи возрастает на 192,989 рублей. Этот результат следует учесть на предприятии при разработке мероприятий по стимулированию производственной деятельности работников цеха в условиях рыночных отношений.

Подставляя в уравнения регрессий и , получаем точки, координаты которых совпадают с координатами центра распределения . Cледовательно, линии регрессий пересекаются в точке .

Находим коэффициент детерминации. Для линейной регрессии при вычисленном коэффициенте он равен . У нас . Это означает, что 76 % рассеивания средней зарплаты работников технологического цеха связи объясняется линейной регрессионной зависимостью между средней зарплатой и производительностью труда, и только 24 % рассеивания средней зарплаты работников технологического цеха остались необъяснимыми. Такое положение могло произойти из-за того, что в модель не включены другие факторы, влияющие на изменение средней зарплаты работников технологического цеха связи, либо опытных данных в данной выборке не достаточно, чтобы построить более надежное уравнение регрессии.

Проверим адекватность уравнения линейной регрессии на по критерию Фишера-Снедекора. Вычислим статистики по формуле (64):

, где .

Для нахождения суммы составляем табл. 25.

Таблица 25
8,2	8,18	0,02	0,0004
8,6	8,3	0,3	0,09
8,7	8,9	–0,2	0,04
8,9	9,4	–0,5	0,25
9,1	9,6	–0,5	0,25
10,6	11,1	–0,5	0,25
11,3	11,25	0,05	0,0025
11,8	11,9	–0,1	0,01
12,9	12,2	0,7	0,49
13,1	12,4	0,7	0,49
			1,8729

Из табл. 24 и 25 находим: , . Тогда

, .

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (приложение) находим . Так как , то заключаем, что есть уравнение линейной регрессии статистически значимо описывает результаты эксперимента.

Проведем оценку величины погрешности уравнения регрессии . Найдем относительную погрешность уравнения по формуле (67):

, где , , .

Так как , то . Для нахождения суммы составляем табл. 26.

Таблица 26
0,02	–0,17	0,0289
0,03	–0,16	0,0256
–0,2	–0,39	0,1521
–0,5	–0,69	0,4761
–0,5	–0,69	0,4761
–0,5	–0,69	0,4761
0,05	–0,14	0,0196
–0,1	–0,29	0,0841
0,7	0,51	0,2601
0,7	0,51	0,2601
		2,2588

Тогда , .

Так как величина мала, то уравнение линейной регрессии хорошо описывает опытные данные.

Оценим коэффициенты уравнения регрессии. У нас , . Для нахождения отношений и вычислим средние квадратические ошибки коэффициентов по формулам (68) и (69):

, , .

По табл. 24 находим: , . Учитывая, что , и , находим:

,

,

.

Так как и , то коэффициенты и уравнения регрессии на значимы. Графики найденных линейных уравнений регрессий построены на рис. 8.

Таким образом, уравнение регрессии , описывающее зависимость средней зарплаты работников цеха технологической связи от производительности труда, значимо описывает опытные данные и может быть принято для практического руководства.

Варианты заданий к лабораторной работе №3.

Вариант № 1

При исследовании зависимости между средней заработной платой на одного работника (тыс. руб.) и выпуском продукции на одного работника (тыс. руб.) по заводу Пластмасс получены следующие данные:

	21,07	23,07	28,69	22,42	21,41	18,49	21,64	39,19	51,96	42,36	51,80	50,45
	30,2	47,0	29,6	39,5	43,9	47,6	46,6	28,7	10,8	16,97	20,1	23,80

Вариант №2

Данные о производстве дистоплива (тыс. руб.) и себестоимости единицы продукции (тыс. руб.) по “Уренгойгазпром” приведены в таблице:

Вариант №3

Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей ( ) и стоимостью ежемесячного технического обслуживания ( ). Для выяснения характера этой связи было отбрано 15 автомобилей. Данные приведены в таблице:

Вариант №4

Данные зависимости мощности на долоте (кВт) осевой статической нагрузки на забой (ТС) при бурении пород Подольского горизонта Туймазинского месторождения приведены в таблице:

	12,5	17,8		41,9

Вариант №5

Зависимость скорости отскока инструмента (м/с) при ударно-вращательном бурении от коэффициента пластичности долот задана таблицей:

	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
	1,2	0,6	0,21	0,9	0,8	0,75

Вариант №6

Данные о количестве выпускаемых деталей (тыс. руб.) и полных затратах на их изготовление (сотни руб.) на однотипных предприятиях приведены в таблице:

Вариант №7

При исследовании зависимости времени на обработку одной детали (мин.) от стажа работы (в годах) на Тюменском моторостроительном объединении в цехе резиново – технических и пластмассовых изделий на слесарном участке получены следующие данные:

		3,33	2,9	2,2	2,1

Вариант №8

Зависимость удельного момента на долоте (кгс·м/тс) от осевой статической нагрузки на забой (тс) при бурении пород задана таблицей:

	22,5	11,5		5,5	2,6	2,4	2,1

Вариант №9

Результаты измерений зависимости фазовой проницаемости воды от нефтенасыщенности породы приведены в таблице:

	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85
	0,65	0,45	0,25	0,15	0,10	0,05	0,07

Вариант №10

В результате исследований установлено, что между овальностью колец после их обработки и термической обработки , существует связь, которая задана таблицей:

		29,3			39,2

Вариант №11

При исследовании зависимости между выпуском готовой продукции (тыс. руб.) и коэффициентом использования техники (%) получены следующие данные:

Вариант №12

Давление (кг) воздуха на парашют возрастает при увеличении скорости (м/сек.) падения следующим образом:

	2,23	3,28	4,65	6,5	8,1
	0,3	0,6	1,2	2,4	4,2

Вариант №13

Прочность бетона (кг/см²) при испытании цилиндрических образцов в зависимости от отношения высоты к диаметру оказалась равной:

	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0

Вариант №14

Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (млн. руб.) и себестоимостью единицы продукции (руб.) характеризуется следующими данными:

	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	7,5
				10,8

Вариант №15

Зависимость между ростом производительности труда на одного работающего (тыс. руб.) и выпуском товарной продукции (тыс. руб.) ремонтного цеха машиностроительного завода характеризуется следующими данными:

	1,5	2,9	3,0	3,1	3,2	3,4	3,5	3,6	4,2

Вариант №16

Зависимость себестоимости продукции (тыс. руб.) от затрат на единицу продукции (тыс. руб.) по объединению «Сибкомплектмонтаж» характеризуется следующими данными:

	0,1	0,4

Вариант №17

Компрессорную скважину исследовали на приток нефти (т/сут.) при различных режимах работы с замером забойных давлений (атм) глубинным манометром. Результаты исследований приведены в таблице:

	1,25	1,3	5,25	11,25	17,25	21,25

Вариант №18

Зависимость между стоимостью основных средств предприятия (млн. руб.) и выработкой продукции (тыс. руб.) на одного работника характеризуется следующими данными:

		1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
			6,8	7,9	8,7		9,5

Вариант №19

Ниже приводятся данные удельного момента на долото (кг·м/тс) и осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород на одном из месторождений Тюменской области:

							4,5		2,8

Вариант №20

Зависимость между мощностью предприятия (млн. ед. продукции в год) и фактическими капитальными вложениями (млн. руб.) характеризуется следующими данными:

	1,2	2,6	3,8	4,6	4,9	5,4

Вариант №21

Результаты изучения зависимости между среднемесячной производительностью труда рабочего (руб) и себестоимостью одной тонны продукции (руб.) приведены в следующей таблице:

Вариант 22

Энерговооруженность труда на одного рабочего (тыс. кВт-час) и производительность труда одного рабочего (тыс. штук) изделий на ряде предприятий характеризуется следующими данными:

		3,05	3,6	4,25	4,45	4,55
		1,5	1,8	2,5

Вариант 23

Зависимость между стоимостью основных средств предприятий и месячным выпуском продукции характеризуется следующими данными:

Стоимость основных средств, , (млн. руб.)
Месячный выпуск продукции, , (тыс. руб.)

Вариант 24

Зависимость между капитальными вложениями (млн. руб.) и мощностью предприятий данного типа (млн. тонн) продукции задана таблицей:

	0,9	2,59	3,67	4,45	4,95	5,20

Вариант 25

Распределение однотипных предприятий по объему произведенной за день продукции и себестоимости единицы продукции в условных единицах приведено в таблице:

Вариант 26

Результаты исследования зависимости объема зоны разрушения з. р. (см³) от предела текучести (кг/мм²) известняков приведены в таблице:

	12,5	37,5	62,5	87,5	112,5	137,5	187,5
з. р.	0,19	0,13	0,11	0,10	0,08	0,07	0,06

Вариант 27

Зависимость перепада давления (кг/см²) (разность между гидростатическим и пластовым давлением) от времени сек. при бурении в песчанике задана таблицей:

	0,025	0,074	0,125	0,175	0,225	0,275	0,325

Вариант 28

Зависимость среднемесячной заработной платы рабочих (тыс. руб.) нефтеперерабатывающего завода от них квалификации (разряд) характеризуется следующими данными:

	0,8	1,2	1,8	2,9	4,2	5,9	12,5

Вариант 29

Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (млн. руб.) и себестоимостью единицы продукции (тыс. руб.) характеризуется следующими данными:

	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	6,0
					6,5		4,5

Вариант 30

Зависимость между фазовой проницаемостью нефти и насыщенностью породы нефтью характеризуется следующими данными:

	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85
	0,05	0,1	0,15	0,45	0,55	0,75

§16. Лабораторная работа №4

Построение модельного уравнения линейной

регрессии для сгруппированных данных.

Цель работы: овладение способами построения моделей линейной регрессии для сгруппированных данных по методу наименьших квадратов и с использованием коэффициента линейной корреляции, выработка умения и навыков оценки надежности уравнения регрессии и его коэффициентов.

Содержание работы: по опытным данным требуется:

1. Построить корреляционное поле. По характеру расположения точек в корреляционном поле выбрать общий вид функции регрессии.

2. Написать уравнение линейной регрессии на по методу наименьших квадратов и с использованием коэффициента корреляции . Сравнить полученные уравнения и сделать вывод о выборке одного из них.

3. Оценить тесную связь между признаками и с помощью выборочного коэффициента корреляции и его значимость.

4. Проверить адекватность модельного уравнения регрессии на , записанного через коэффициент корреляции .

5. Проверить надежность уравнения регрессии на , записанного через коэффициент корреляции и его коэффициентов.

6. Построить уравнения регрессий в первоначальной системе координат.

Задача. Валики при черновой обработке на станке №1 передаются последовательно на станок №2 для чистовой обработки. Экспериментатор, изучающий зависимость между отклонениями размеров валиков от номинала при черновой обработке (мкм), от номинала при чистовой обработке (мкм) произвел измерения отклонений у 50 случайно отобранных валиков. Результаты измерений сведены в табл. 27.

Таблица 27
	-30	-20	-10
-8
-4

Выполнение работы.

Пусть признак характеризует отклонение размеров валиков от номинала при черновой обработке, а признак отклонение размеров валиков от номинала при чистовой обработке. Используя данные табл. 27, строим корреляционное поле (рис. 9).

Проведя линию трэнда (пунктирная линия), видим, что число точек, расположенных над и под ней, практически одинаково, причем расстояния этих точек до линии трэнда одинаковые. Это дает основание предположить наличие линейной зависимости между признаками и . Для подтверждения этой гипотезы перейдем от денного распределения к новому, найдя для каждого значения признак условное среднее признака по формуле (42):

.

При , .

При , .

При , .

При , .

Строим точки с координатами (рис. 10).

Из рис. 10 видно, что отклонения точек от построенной прямой незначительны. Следовательно, связь между признаками и может носить линейный характер. Составим уравнения линий регрессий на по методу наименьших квадратов и через коэффициент линейной корреляции .

Применим метод наименьших квадратов к нахождению коэффициентов и уравнения линейной регрессии . Решаем систему нормальных уравнений (45):

.

Для нахождения сумм, входящих в систему составляем табл. 28.

Таблица 28
	-30	-20	-10
-8						-8
-4						-20
	-180	-360	-160		-700
		-80	-680		-40

Пользуясь табл. 28, записываем и решаем систему уравнений:

, ,

Тогда уравнение линейной регрессии запишется в виде

(70)

Найдем уравнение линейной регрессии на по формуле (47), используя коэффициент линейной корреляции:

.

Так как данные выборки для признаков и заданы в виде корреляционной таблицы и объем выборки , то для нахождения величин, входящих в уравнение регрессии, переходим к вспомогательному распределению с условными вариантами и . По корреляционной табл. 27 находим наибольшую частоту совместного появления признаков и : . Тогда , , , . Составляем корреляционную табл. 29 в условных вариантах.

Таблица 29
	-1
-2
-1

По табл. 29 находим:

,

,

,

Тогда

.

Для нахождения суммы составляем табл. 30.

Таблица 30
	-1
-2	1 2
-1	4 1
			13 1
			2 2	1 4
				9 6

Тогда:

,

,

,

, .

Записываем уравнение линий регрессий:

или

— на .

или

— на .

Проверяем тесноту связи между признаками и . Воспользуемся критерием Стьюдента. Вычисляем статистику

.

При уровне значимости и числе степеней свободы находим по таблице распределения Стьюдента . Так как , то выборочный коэффициент линейной корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно считать, что отклонение размеров валиков от номинала при черновой обработке на станке №1 и отклонение размеров валиков от номинала при чистовой обработке на станке №2 связаны линейной корреляционной зависимостью. Дадим интерпретацию, например, уравнению регрессии на . Из уравнения регрессии видно, что при отклонении от нормальных размеров валиков при черновой обработке ( ), например, на 10 мкм на станке №1 отклонение от нормального размера валиков при последующей чистовой обработке на станке №2 составит мкм. Это результат воздействия отклонений при черновой обработке валиков на станке №1. Фактически отклонение может составить мкм, что является результатом воздействия неучтенных в модели факторов, не зависящих от отклонений при черновой обработке. Уравнения линий регрессий построены на рис. 9.

Проверим полученное уравнение регрессии на на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Вычислим статистику

.

Составим расчетные табл. 2.10 и 2.11.

Таблица 2.10 -8 -11,2 125,44 -4 -7,2 51,84 -3,2 10,24 0,8 0,64 4,8 23,04 8,8 77,44

Таблица 2.11 -4 -7,2 51,84 0,2 -3 4,3 1,1 1,21 11,6 8,4 70,56

Находим . По условию , . Тогда

.

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находим . Так как , то модель линейной регрессии согласуется с опытными данными.

Итак, мы получили два уравнения линейной регрессии на , описывающих зависимость между признаками и . При подстановке в каждое из них опытных значений признака убеждаемся в том, что уравнение (70), полученное по методу наименьших квадратов без использования коэффициента линейной корреляции , дает лучшие значения признака , чем уравнение (71). Однако практика решения инженерных задач, связанных с построением однофакторных моделей линейной регрессии показывает, что не всегда уравнения, полученные без применения коэффициента корреляции , лучше уравнений с его применением. Поэтому, проводя моделирование в случае сгруппированных экспериментальных данных, следует строить обе модели линейной регрессии и выбирать лучшую из них.