ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Date: 2015-10-07; view: 359.
ВАРИАНТ 2
1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:
НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.
1.Доказать,что треугольник с вершинами А1(3,0), А2(4,2), А3(7,-2) прямоугольный.
2.Даны вершины треугольника А(3,2), В(-1,0), С(5,-4).Составить уравнения его медианы и высоты, проведенных из вершины А.
3.Найти координаты точки М1, симметричной точке М1(6,-11) относительно прямой, проходящей через точки А(1,-6), В(-3,-4).
4.Даны три вершины параллелограмма А(5,-4), В(7,-2), С(1,4).Определить координаты четвертой вершины D, противоположной В.
5.Отрезок, ограниченный точками А(2,-2), В(5,4) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
6.Даны две вершины А(2,1), В(4,9) треугольника АВС и точка N(3,1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
7.Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-9=0.Составить уравнения трех остальныхсторон квадрата, если (0,1) - точка пересечения его диагоналей.
8.Точка А(3,-4) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х-2у+8=0. Вычислить площадь квадрата.
9.Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
10 Установить, какая линия определяется уравнением 
.Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.
11.Точка М1(2,3) является концом малой оси элипса, фокусы которого лежат на прямой у+2=0.Составить уравнение этого элипса, зная его эксцентриситет 
.
12.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(4,1) и от прямой х+2=0. Определить какая эта линия. Сделать чертеж.
13.Линия задана уравнением 
в полярной системе координат. Требуется:
а) построить линию по точкам, начиная от 
до 
и придавая 
значения через промежуток 
;
б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совподает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
в) по полученному уравнению определить, какая это линия.
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
14.Вычислить определители:
а) по правилу треугольника;
б) разложением по элиментам первой строки;
в) разложением по элиментам второго столбца;
г) сведением к треугольному виду:
а) 
б) 
в) 
г) 
15. Даны векторы: 
в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ,
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. СКАЛЯРНОЕ,
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
16. Найти коородинаты еденичного вектора (орта) 
0, сонаправленного с вектором 
.
17. Два вектора 
и 
приложены к одной точке. Найти координаты:
а) ортов 
и 
0 векторов 
и ;
б) вектора 
0+ 
0;
в) вектора 
, направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что 
=15 
.
18. Найти проекцию вектора 
на направление вектора 
.
19. Найти проекцию вектора 
на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.
20. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что 
.
Найти величину угла между векторами 
и 
, используя последовательность действий:
а) ввести декартовую прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали 
(построение четырехугольника нужно ничинать с построения диагонали АС и BD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);
б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;
в) найти координаты векторов и ;
г) найти 
по формуле = 
;
д) подсчитать искомый угол по формуле 
.
21. Найти координаты вектора 
, если 
и пр 
=-44, где 
, 
, 
.
22. Дано 
=2, 
, ( 
)= 
, 
. Найти = 
.
23. Вычеслить координаты векторного произведения 
и его длину 
, если 
.
24. Даны вершины треугольника А(5,-6,2), В(1,-1,2), С(1,3,-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.
25. Вычислить 
, если 
=2, 
=3, ( 
)= 3 
.
26. Вектор 
ортогонален векторам 
(2,1,3) и 
и составляет с осьюOу тупой угол. Найти координаты вектора , если 
и 
=10.
27. Вычислить смешанное произведение векоров 
28. Установить, компланарны ли векторы 
, 
, 
.
29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(3,4,2), В (5,2,-1), С(7,4,8), D(-4,-3,7).
30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить 
, если ( 
, 
= , 
= 2, 
=2, а тройка векторов 
- правая.
4.аналитическая геометрия в пространстве:
плоскость и прямая в прстранстве;
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Скалярное, векторное и смешанное | | | Поверхности второго порядка |