ИДЗ № 1 «Матричные операции» 4 page

Date: 2015-10-07; view: 378.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

37. Составить параметрические уравнения прямой

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти тупой угол между прямыми:

, , ;

, , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(7, 5, 3) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–3, –2, 4) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние от точки до прямой .

44. Из всех прямых, пересекающих две прямые: и , найти канонические уравнения той прямой, которая была бы параллельна прямой .

Указание. Произвести последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (2, 3, 1) – направляющий вектор прямой , (8, 7, 1) – направляющий вектор прямой ; б) составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

в) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (5, 4, 1), (8, 7, 1) – направляющие векторы прямых и соответственно; составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

г) искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и ; зная их общие уравнения, найти канонические уравнения искомой прямой.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2, 6, 2), А₂(6, 5, 0), А₃(3, 5, 3), А₄(3, 2, 4). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , ;

б) , , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественным линейным пространством:

а) множество всех многочленов (от одного переменного) с действительными коэффициентами степени ;

б) множество всех таких многочленов степени 4.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 2, ), =(1, 2, 1), =(2, 1, 5), =(1, –1, 4).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 4, –3, –2), =(1, –2, 0, 0), =(0, 0, 1, 1), =(1, 4, –2, –1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве всех вещественных матриц второго порядка дан оператор : . Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе , , , .

57. В евклидовом пространстве линейный оператор проецирует векторы на плоскость , а линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы , , , где , . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. а) , б) , в) или . 2. катет – , гипотенуза или . 3. , , . 4. . 5. (1, 5), (3, 7).

6. . 7. 1) , , , 2) , , , . 8. , , .

9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 25. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 14. 5) окружность с центром и радиусом 20. 6) окружность с центром и радиусом 30. 10. гипербола , , , , .

11. . , , ,

12. . 13. эллипс: б) в) . 14. а) –3, б) –36, в) –12, г) –2. 15. . 16. .

17. , , , . 18. 4. 19. 5. 20. . 21. . 22. .

23. , . 24. кв. ед., .

25. . 26. . 27. –12. 28. точки лежат в одной плоскости. 29. куб. ед. 30. 18. 31. .

32. . 33. .

34. . 35. . 36. . 37. . 38. . 39. .

40. . 41. . 42. . 43. . 44. . 45. 1) ,

2) , 3) ,

4) , 5) . 47. , .

48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. . 54. да. 55. а) отражение трехмерного пространства относительно начала координат, б) проектирование трехмерного пространства на ось с последующим отражением относительно начала координат. 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе , , , .

57. , , .

58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где , одновременно не равные нулю; для , где .

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:

а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой ; в) образует угол в с прямой

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (1, 3) и уравнение противолежащего катета: . Составить уравнения двух других сторон треугольника.

3. Даны середины сторон треугольника , , . Составить уравнения его сторон.

4. Даны вершины треугольника А(–3, –4), В(–1, 0), С(1, 2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(–4, –7) и В(2, –1), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(5, 6).

7. Даны две смежные стороны квадрата А(1, –4) и В(–2, 0). Составить уравнение его сторон.

8. Точка Е(–1, –4) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение эллипса и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет, если известно, что левый фокус эллипса находится в правой вершине гиперболы: , при этом один из концов большой оси эллипса находится в точке (5, –1), а другой – в вершине параболы .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(4, –2) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(1, 1, 1); ₂=(2, –3, 4); ₃=(–3, 1, –2); =(0, –7, 8) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(1, –1, –3).