ИДЗ № 1 «Матричные операции» 5 page

Date: 2015-10-07; view: 352.

17. Два вектора =(–3, 4, 0) и =(2, –6, 3) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Даны точки А(2, –1, –1), В(5, –2, 7), С(3, –5, 3), D(5, –3, 4). Вычислить .

19. Найти проекцию вектора =(3, 5, –2 ) на ось, составляющую с координатными осями , углы , . А с осью - острый угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 2 . Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что , . Найти .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по вектору , а ось направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что – прямоугольный ( ), а поэтому ;

в) найти координаты вектора , найти координаты вектора (очевидно ) и вектора , используя равенство , найти координаты вектора ;

г) зная координаты векторов и , найти , где , .

21. Векторы и совпадают со сторонами треугольника. Вычислить длину медианы АМ, проведенной из вершины А, если , , .

22. Найти величину острого угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(–3, 1, –1), .

24. Даны вершины треугольника А(4, 0, 6), В(2, –1, 0) и С(4, 1, 1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если и вектор составляет с осью тупой угол.

26. Вычислить , если , , .

27. Вычислить смешанное произведение векторов , , .

28. Лежат ли четыре точки А(3, 3, 0), В(3, 2, 0), С(4, 3, –1), D(5, 3, –2) в одной плоскости?

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(–6, –1, –2), В(–4, 2, 2), С(0, 1, 0), D(–3, 6, –1).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

37. Составить параметрические уравнения прямой .

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти тупой угол между прямыми:

, , ;

, , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(0, 4, 2) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–3, –2, 4) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние от точки до прямой .

44. Из всех прямых, пересекающих две прямые: и . Найти канонические уравнения той прямой, которая была бы параллельна прямой .

Указание. Произвести последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (2, 3, 1) – направляющий вектор прямой , (8, 7, 1) – направляющий вектор прямой ;

б) составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

в) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (5, 4, 1), (8, 7, 1) – направляющие векторы прямых и соответственно. Составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

г) искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и , зная их общие уравнения, найти канонические уравнения искомой прямой.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(0, 6, 3), А₂(4, 5, 1), А₃(1, 5, 4), А₄(1, 2, 5). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , (внутри цилиндра);

б) , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Будет ли вещественным линейным пространством:

а) множество всех многочленов (от одного переменного) с действительными коэффициентами степени ;

б) множество всех таких многочленов степени 6.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 1, ), =(1, –2, –3), =(-2, 3, 4), =(1, 3, 7).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(–1, 0, 1, –1), =(4, 1, –2, 1), =(–2, 1, 1, –1), =(3, –1, –1, 1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве всех вещественных матриц второго порядка дан оператор : . Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе , , , .

57. В евклидовом пространстве линейный оператор проецирует векторы на плоскость , а линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы , , , где , . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. а) , б) , в) или . 2. катет – , гипотенуза или .

3. , , . 4. . 5. (–2, –5), (0, –3). 6. . 7. 1) , , , 2) , , , . 8. , , . 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 16. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 12. 5) окружность с центром и радиусом 4. 6) окружность с центром и радиусом 7. 10. гипербола , , , , .

11. . , , ,

12. . 13. нижняя ветвь сопряженной гиперболы: б) в) . 14. а) –22, б) 15, в) –7, г) –2. 15. .

16. . 17. , , , . 18. 4. 19. 6.

20. . 21. . 22. .

23. , . 24. кв. ед., .

25. . 26. . 27. -10. 28. точки лежат в одной плоскости. 29. куб. ед. 30. 18. 31. .

32. . 33. . 34. . 35. . 36. . 37. .

38. , , . 39. . 40. . 41. . 42. . 43. . 44. .

45. 1) , 2) , 3) ,

4) , 5) . 47. , .

48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .