ИДЗ № 1 «Матричные операции» 7 page

Date: 2015-10-07; view: 343.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. 8 кв. ед. 2. 10; 26; 3. 4. , , . 5. и 6. , . 7. , , , . 8. , , .

9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 5. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 5. 5) окружность с центром и радиусом 2. 6) окружность с центром и радиусом 3.

10. эллипс , , , , .

11. гипербола . , , .

12. гипербола . 13. парабола: б) в)

14. а) 24, б) 94, в) 21, г) –4. 15. .

16. . 17. , , , . 18. . 19. .

20. . 21. . 22. , .

23. , . 24. кв. ед., .

25. . 26. . 27. . 28. правая тройка.

29. . 30. . 31. . 32. . 33. . 34. . 35. .

36. . 37. и . .

38. . 39. . 40. . 41. . 42. . 43. . 44. .

45. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

47. , . 48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. . 54. да. 55. а) проектирование на ось , б) проектирование на плоскость . 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе .

57. , , .

58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где любые вещественные числа одновременно не равные нулю; для , где .

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:

а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой ; в) образует угол в с прямой .

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (5, 7) и уравнение противолежащего катета: . Составить уравнения двух других сторон треугольника.

3. Даны середины сторон треугольника , , . Составить уравнения его сторон.

4. Даны вершины треугольника А(2, –1), В(4, 3), С(6, 5). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(2, –1) и В(8, 5), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(3, 1).

7. Даны две смежные вершины квадрата А(–2, 0) и В(–5, 4). Составить уравнения его сторон.

8. Точка Е(3, 1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение эллипса и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет, если известно, что левый фокус эллипса находится в правой вершине гиперболы: , при этом один из концов большей оси эллипса находится в точке (16, –1), а другой – в вершине параболы .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(0, 1) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(1, 2, 3); ₂=(0, 1, 2); ₃=(–3, 0, 1); =(12, 7, 8) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(–2, 3, –1).

17. Два вектора =(–2, 3, –6) и =(1, –2, 2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Даны точки А(–1, 2, –3), В(2, 1, 5), С(0, –2, 1), D(2, 0, 2). Вычислить .

19. Найти проекцию вектора =(-3 , 2, 4) на ось, составляющую с координатными осями , углы , , а с осью - острый угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 8. Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что , . Найти .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по вектору , а ось направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что – прямоугольный ( ), а поэтому ;

в) найти координаты вектора , найти координаты вектора (очевидно ) и вектора , используя равенство , найти координаты вектора ;

г) зная координаты векторов и , найти , где , .

21. Векторы и совпадают со сторонами треугольника. Вычислить длину медианы АМ, проведенной из вершины А, если , , .

22. Найти величину острого угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(–2, 1, –1), .

24. Даны вершины треугольника А(0, 2, 3), В(–2, 1, –3) и С(0, 3, –2). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если и вектор составляет с осью тупой угол.

26. Вычислить , если , , .

27. Вычислить смешанное произведение векторов , , .

28. Лежат ли четыре точки А(2, –1, 4), В(2, –2, 4), С(3, –1, 3), D(4, –1, 2) в одной плоскости?

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(0, 0, 1), В(2, 3, 5), С(6, 2, 3), D(3, 7, 2).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

37. Составить параметрические уравнения прямой .

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти тупой угол между прямыми:

, , ;

, , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(3, 1, –1) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1, 2, 8) относительно прямой .

43. Вычислить расстояние от точки до прямой .

44. Из всех прямых, пересекающих две прямые и . Найти канонические уравнения той прямой, которая была бы параллельна прямой .

Указание. Произвести последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (2, 3, 1) – направляющий вектор прямой , (8, 7, 1) – направляющий вектор прямой ;

б) составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

в) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (5, 4, 1), (8, 7, 1) – направляющие векторы прямых и соответственно; составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;