ИДЗ № 1 «Матричные операции» 8 page

Date: 2015-10-07; view: 347.

г) искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и , зная их общие уравнения, найти канонические уравнения искомой прямой.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(1, 4, 2), А₂(5, 3, 0), А₃(2, 3, 3), А₄(2, 0, 4). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , , ;

б) , , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Является ли линейным пространством:

а) множество всех многочленов (от одного переменного) с действительными коэффициентами степени ;

б) множество всех таких многочленов степени 3.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 1, ), =(2, 1, 0), =(2, 1, 1), =(3, 2, 1).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 1, 3, –3), =(2, –1, 1, –1), =(1, 0, 1, 0), =(2, 1, 4, –3).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве всех вещественных матриц второго порядка дан оператор : . Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе , , , .

57. В евклидовом пространстве линейный оператор проецирует векторы на плоскость , а линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы , , , где , . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. а) , б) , в) или . 2. – второй катет; гипотенуза или . 3. , , . 4. . . 5. (4, 1), (6, 3). 6. . 7. 1) , , , 2) , , , . 8. , , . 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 2. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 2. 5) окружность с центром и радиусом 3. 6) окружность с центром и радиусом 1.

10. гипербола , , , , .

11. . , , , 12. . 13. эллипс: б) в) . 14. а) –39, б) –36, в) 30, г) 2.

15. . 16. . 17. , , , . 18. 4. 19. 2. 20. . 21. . 22. . 23. , . 24. кв. ед., .

25. . 26. . 27. -17. 28. точки лежат в одной плоскости. 29. куб. ед. 30. 6. 31. . 32. .

33. . 34. . 35. . 36. . 37. , , . 38. . 39. . 40. . 41. . 42. .

43. . 44. . 45. 1) ,

2) , 3) , 4) ,

5) . 47. , . 48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. – любое число из . 54. 55. а) проектирование на плоскость с последующим отражением относительно оси , б) отражение трехмерного пространства относительно оси . 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе , , , .

57. , , . 58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где , одновременно не равные нулю; для , где .

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:

а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой ; в) образует угол в с прямой .

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (8, 4) и уравнение противолежащего катета: . Составить уравнения двух других сторон треугольника.

3. Даны середины сторон треугольника , , . Составить уравнения его сторон.

4. Даны вершины треугольника А(–1, 1), В(1, 5), С(3, 7). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(–1, 1) и В(5, 7), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(4, 3).

7. Даны две смежные вершины квадрата А(1, –2) и В(–2, 2). Составить уравнение его сторон.

8. Точка Е(6, –1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение эллипса и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет, если известно, что левый фокус эллипса находится в правой вершине гиперболы: , при этом один из концов большей оси эллипса находится в точке (3, –3), а другой – в вершине параболы .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(3, 3) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(1, 2, 3); ₂=(0, –1, 4); ₃=(2, 0, 5); =(3, 8, 1) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(4, –2, 1).

17. Два вектора =(6, –3, –2) и =(–2, 1, 2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Даны точки А(2, 4, 0), В(5, 3, 8), С(3, 0, 4), D(5, 2, 5). Вычислить .

19. Найти проекцию вектора =(2 , –4, 4) на ось, составляющую с координатными осями , углы , , а с осью – острый угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 4 . Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что , . Найти .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по вектору , а ось направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что - прямоугольный ( ), а поэтому ;

в) найти координаты вектора , найти координаты вектора (очевидно ) и вектора ; используя равенство , найти координаты вектора ;

г) зная координаты векторов и , найти , где , .

21. Векторы и совпадают со сторонами треугольника. Вычислить длину медианы АМ, проведенной из вершины А, если , , .

22. Найти величину острого угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(2, 0, 1), .

24. Даны вершины треугольника А(3, 5, 6), В(1, 4, 0) и С(3, 6, 1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если и вектор составляет с осью тупой угол.