ИДЗ № 1 «Матричные операции» 9 page

Date: 2015-10-07; view: 422.

26. Вычислить , если , , .

27. Вычислить смешанное произведение векторов , , .

28. Лежат ли четыре точки А(5, 2, 1), В(5, 1, 1), С(6, 2, 0), D(7, 2, –1) в одной плоскости?

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(–3, 3, –1), В(–1, 6, 3), С(3, 5, 1), D(0, 10, 0).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов –правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям: и .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

37. Составить параметрические уравнения прямой

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти тупой угол между прямыми:

, , ;

, , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(0, 4, 2) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–2, 5, 5) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние от точки до прямой .

44. Из всех прямых, пересекающих две прямые: и . Найти канонические уравнения той прямой, которая была бы параллельна прямой .

Указание. Произвести последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (2, 3, 1) – направляющий вектор прямой , (8, 7, 1) – направляющий вектор прямой ; б) составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

в) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (5, 4, 1), (8, 7, 1) – направляющие векторы прямых и соответственно; составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

г) искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и ; зная их общие уравнения, найти канонические уравнения искомой прямой.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2, 6, 4), А₂(6, 5, 2), А₃(3, 5, 5), А₄(3, 2, 6). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , (внутри цилиндра);

б) , , , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественным линейным пространством:

а) множество всех многочленов (от одного переменного) с действительными коэффициентами степени ;

б) множество всех таких многочленов степени 5.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 7, ), =(1, 3, 5), =(2, –1, 3), =(1, –2, 0).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 0, 0, 1), =(0, 1, 1, –1), =(1, –2, 1, –1), =(–1, 1, –1, 1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве всех вещественных матриц второго порядка дан оператор : . Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе , , , .

57. В евклидовом пространстве линейный оператор проецирует векторы на плоскость , а линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы , , , где , . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. а) , б) , в) или . 2. катет – , гипотенуза или . 3. , , . 4. . 5. (1, 3), (3, 5).

6. . 7. 1) , , , 2) , , , . 8. , , . 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 5. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 17. 5) окружность с центром и радиусом 20. 6) окружность с центром и радиусом 18. 10. гипербола , , , , . 11. . , , , 12. . 13. эллипс: б) в) . 14. а) –3, б) 31, в) –30, г) 2. 15. . 16. .

17. , , , . 18. 4. 19. –2. 20. . 21. .

22. . 23. , . 24. кв. ед., . 25. . 26. . 27. –45. 28. точки лежат в одной плоскости. 29. куб. ед. 30. 24. 31. .

32. . 33. . 34. . 35. . 36. . 37. , , . 38. .

39. . 40. . 41. . 42. . 43. . 44. . 45. 1) ,

2) , 3) ,

4) , 5) . 47. , .

48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. . 54. нет. 55. а) проектирование трехмерного пространства на плоскость с последующим отражением относительно оси , б) растяжение вдоль оси в 3 раза. 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе , , , .

57. , , . 58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где , одновременно не равные нулю; для , где .

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:

а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой ; в) образует угол в с прямой .

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (3, 4) и уравнение противолежащего катета: . Составить уравнения двух других сторон треугольника.

3. Даны середины сторон треугольника , , . Составить уравнения его сторон.

4. Даны вершины треугольника А(–2, 1), В(0, 5), С(2, 7). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(–1, 3) и В(5, 9), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(3, 5).

7. Даны две смежные стороны квадрата А(1, –5) и В(–2, –1). Составить уравнение его сторон.

8. Точка Е(–2, 3) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение эллипса и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет, если известно, что левый фокус эллипса находится в правой вершине гиперболы: , при этом один из концов большей оси эллипса находится в точке (18, 1), а другой – в вершине параболы .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(2, 3) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.