ИДЗ № 1 «Матричные операции» 10 page

Date: 2015-10-07; view: 370.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(0, –1, 4); ₂=(2, 0, 5); ₃=(1, 2, 3); =(–6, –2, –7) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(3, –3, 1).

17. Два вектора =(0, 4, –3) и =(2, –3, 6) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Даны точки А(–3, 0, –5), В(0, –1, 3), С(–2, –4, –1), D(0, –2, 0). Вычислить .

19. Найти проекцию вектора =(2, –2, 5 ) на ось, составляющую с координатными осями , углы , . А с осью - острый угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 4. Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что , . Найти .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по вектору , а ось направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что – прямоугольный ( ), а поэтому ;

в) найти координаты вектора , найти координаты вектора (очевидно ) и вектора , используя равенство , найти координаты вектора ;

г) зная координаты векторов и , найти , где , .

21. Векторы и совпадают со сторонами треугольника. Вычислить длину медианы АМ, проведенной из вершины А, если , , .

22. Найти величину острого угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(3, –4, –2), .

24. Даны вершины треугольника А(2, 4, 5), В(0, 3, –1) и С(2, 5, 0). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если и вектор составляет с осью тупой угол.

26. Вычислить , если , , .

27. Вычислить смешанное произведение векторов , , .

28. Лежат ли четыре точки А(5, 2, 1), В(5, 1, 1), С(6, 2, 0), D(7, 2, –1) в одной плоскости?

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(–3, –2, 2), В(–1, 1, 6), С(3, 0, 4), D(0, 5, 3).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

37. Составить параметрические уравнения прямой

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти тупой угол между прямыми:

, , ;

, , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(7, 5, 3) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–3, –2, 4) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние от точки до прямой .

44. Из всех прямых, пересекающих две прямые: и , найти канонические уравнения той прямой, которая была бы параллельна прямой .

Указание. Произвести последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (2, 3, 1) – направляющий вектор прямой , (8, 7, 1) – направляющий вектор прямой ; б) составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

в) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (5, 4, 1), (8, 7, 1) – направляющие векторы прямых и соответственно; составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

г) искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и ; зная их общие уравнения, найти канонические уравнения искомой прямой.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2, 6, 2), А₂(6, 5, 0), А₃(3, 5, 3), А₄(3, 2, 4). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , ;

б) , , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественным линейным пространством:

а) множество всех многочленов (от одного переменного) с действительными коэффициентами степени ;

б) множество всех таких многочленов степени 4.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 2, ), =(1, 2, 1), =(2, 1, 5), =(1, –1, 4).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 4, –3, –2), =(1, –2, 0, 0), =(0, 0, 1, 1), =(1, 4, –2, –1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве всех вещественных матриц второго порядка дан оператор : . Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе , , , .

57. В евклидовом пространстве линейный оператор проецирует векторы на плоскость , а линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы , , , где , . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. а) , б) , в) или . 2. катет – , гипотенуза или . 3. , , . 4. . 5. (1, 5), (3, 7).

6. . 7. 1) , , , 2) , , , . 8. , , .

9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 25. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 14. 5) окружность с центром и радиусом 20. 6) окружность с центром и радиусом 30. 10. гипербола , , , , . 11. . , , ,

12. . 13. эллипс: б) в) . 14. а) –3, б) –36, в) –12, г) –2. 15. . 16. .

17. , , , . 18. 4. 19. 5. 20. . 21. . 22. .

23. , . 24. кв. ед., .

25. . 26. . 27. –12. 28. точки лежат в одной плоскости. 29. куб. ед. 30. 18. 31. . 32. . 33. .34. . 35. .

36. . 37. . 38. .

39. .40. . 41. . 42. . 43. . 44. . 45. 1) ,