ИДЗ № 1 «Матричные операции» 11 page

Date: 2015-10-07; view: 372.

2) , 3) ,

4) , 5) . 47. , .

48. , где . 49. , , , . 50. а) , б) . 51. , , . 52. а) да, б) нет. 53. . 54. да. 55. а) отражение трехмерного пространства относительно начала координат, б) проектирование трехмерного пространства на ось с последующим отражением относительно начала координат. 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе , , , .

57. , , .

58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где , одновременно не равные нулю; для , где .

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:

а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой ; в) образует угол в с прямой

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (1,3) и уравнение противолежащего катета: . Составить уравнения двух других сторон треугольника.

3. Даны середины сторон треугольника , , . Составить уравнения его сторон.

4. Даны вершины треугольника А(–3, –4), В(–1, 0), С(1, 2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(–4, –7) и В(2, –1), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(5, 6).

7. Даны две смежные стороны квадрата А(1, –4) и В(–2, 0). Составить уравнение его сторон.

8. Точка Е(–1, –4) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение эллипса и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет, если известно, что левый фокус эллипса находится в правой вершине гиперболы: , при этом один из концов большой оси эллипса находится в точке (5, –1), а другой – в вершине параболы .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(4, –2) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(1, 1, 1); ₂=(2, –3, 4); ₃=(–3, 1, –2); =(0, –7, 8) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(1, –1, –3).

17. Два вектора =(–3, 4, 0) и =(2, –6, 3) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Даны точки А(2, –1, –1), В(5, –2, 7), С(3, –5, 3), D(5, –3, 4). Вычислить .

19. Найти проекцию вектора =(3, 5, –2 ) на ось, составляющую с координатными осями , углы , . А с осью - острый угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 2 . Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что , . Найти .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по вектору , а ось направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что – прямоугольный ( ), а поэтому ;

в) найти координаты вектора , найти координаты вектора (очевидно ) и вектора , используя равенство , найти координаты вектора ;

г) зная координаты векторов и , найти , где , .

21. Векторы и совпадают со сторонами треугольника. Вычислить длину медианы АМ, проведенной из вершины А, если , , .

22. Найти величину острого угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(–3, 1, –1), .

24. Даны вершины треугольника А(4, 0, 6), В(2, –1, 0) и С(4, 1, 1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если и вектор составляет с осью тупой угол.

26. Вычислить , если , , .

27. Вычислить смешанное произведение векторов , , .

28. Лежат ли четыре точки А(3, 3, 0), В(3, 2, 0), С(4, 3, –1), D(5, 3, –2) в одной плоскости?

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(–6, –1, –2), В(–4, 2, 2), С(0, 1, 0), D(–3, 6, –1).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

37. Составить параметрические уравнения прямой .

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти тупой угол между прямыми:

, , ;

, , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(0, 4, 2) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–3, –2, 4) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние от точки до прямой .

44. Из всех прямых, пересекающих две прямые: и . Найти канонические уравнения той прямой, которая была бы параллельна прямой .

Указание. Произвести последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (2, 3, 1) – направляющий вектор прямой , (8, 7, 1) – направляющий вектор прямой ;

б) составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

в) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости , проходящей через прямую , параллельно прямой , где (5, 4, 1), (8, 7, 1) – направляющие векторы прямых и соответственно. Составить общее уравнение плоскости , как плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором ;

г) искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и , зная их общие уравнения, найти канонические уравнения искомой прямой.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(0, 6, 3), А₂(4, 5, 1), А₃(1, 5, 4), А₄(1, 2, 5). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , (внутри цилиндра);

б) , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Будет ли вещественным линейным пространством:

а) множество всех многочленов (от одного переменного) с действительными коэффициентами степени ;

б) множество всех таких многочленов степени 6.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 1, ), =(1, –2, –3), =(–2, 3, 4), =(1, 3, 7).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(–1, 0, 1, –1), =(4, 1, –2, 1), =(–2, 1, 1, –1), =(3, –1, –1, 1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве всех вещественных матриц второго порядка дан оператор : . Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе , , , .