Алгоритм решения прямой задачи динамики

Date: 2015-10-07; view: 447.

При неустановившемся (переходном) режиме.

В отличие от установившегося режима движения режимы разгона и торможения называются неустановившимися. К этому режиму относят и режим движения «пуск-останов». Прямая задача динамики: определение закона движения машины при заданных внешних силовых воздействиях ( как сил и моментов сопротивления, так и движущих или управляющих сил ). Эта задача относится к задачам анализа, при которых параметры механизмов заданы, либо могут быть определены на предварительных этапах расчета. Для простоты и наглядности рассмотрим алгоритм решения этой задачи на примере конкретного механизма гидроподъемника. По условиям функционирования гидроподъемник за цикл движения должен переместить платформу 1 (рис. 7.6) на угол Dj₁и зафиксировать ее в конечном положении. При этом силы сопротивления определяются силами веса платформы и звеньев гидроцилиндра, движущие силы - давлением жидкости в цилиндре.

при неустановившемся режиме.

Постановка задачи .

Дано: Кинематическая схема механизма и его размеры

l_AB= 1 м, l_BS1= 2 м, l_BD= 0.7м, l_AC= 1.45м,

l_BS2= 0.35м, l_BS₃ = 0.4 м;

массы и моменты инерции звеньев m₁ = 1000 кг,

I_S1= 800 кг× м², m₂ = 50 кг, I_S₂ = 2 кг× м², m₃ = 100 кг,

I_S₃ = 5 кг× м²; w_1нач= 0, Dj₁ = 30° , j_1нач= 0.

____________________________________________

Определить: w₁= f(j₁ ), t = f(j₁ ), w₁ = f( t ), e₁= f(j₁ ).

1. Выбор динамической модели и определение ее параметров.

x

j₁

w₁

M^пр_å

I^пр_å

A

Динамическая модель

Рис. 7.7

В качестве динамической модели принимаем звено 1, совершающее вращательное движение вокруг точки А с круговой частотой w₁, положение которого определяется обобщенной координатой j₁. Параметры динамической модели: суммарный приведенный момент инерции звеньев механизма I^пр_åи суммарный приведенный момент, действующих на него внешних сил, M^пр_åопределяются в следующей последовательности:

1.1. Определение кинематических передаточных функций для звеньев механизма u₂₁= u₃₁ , центров масс V_qS1, V_qS₂ _и V_qS₃и точки приложения движущей силы V_qD. Для определения этих функций воспользуемся методом проекций векторного контура механизма .

y

x

x_S1

S₃

S₁

B

y_S1

A

S₂

C

D

j₂ = j₃

Рис. 7.8

Рассмотрим следующие векторные контуры:

l _AB= l _AC+ l _CB;

l _AD= l _AB+ l _BD;

l _AS2= l _AC+ l _CS2;

l _AS3= l _AC+ l _CS3;

l _AS1= x_S1+ y_S1 .

Для первого векторного контура l _AB= l _AC+ l _CB проекции на оси координат

l_AB× cos j₁= x_C+ l_CB× cos j₂,

l_AB× sin j₁= y_C + l_CB× sin j₂,

j₂ = arctg [( l_AB× sin j₁- y_C )/( l_AB× cos j₁- x_C)].

Производные от этих выражений по j₁

- l_AB× sin j₁= V_qCB× cos j₂ - l_CB× u₂₁× sin j₂,

l_AB× cos j₁= V_qCB× sin j₂ + l_CB× u₂₁× cos j₂,

позволяют определить первые передаточные функции

u₂₁ = l_AB× ( sin j₁× tgj₂+ cos j₁)/ [ l_CB× ( sin j₂× tgj₂+ cos j₂ )],

V_qCB = - l_AB× ( sin j₁- cos j₁× tgj₂)/ ( sin j₂× tgj₂+ cos j₂ ).

Для второго векторного контура l _AD= l _AB+ l _BD проекции на оси координат

x_D= x_B+ l_BD× cos (j₂+ p ) ,

y_D= y_B + l_BD× sin (j₂+ p ) .

Производные от этих выражений по j₁

V_qDx= V_qBx- l_BD× u₂₁× sin (j₂+ p ) ,

V_qDy= V_qBy+ l_BD× u₂₁× cos (j₂+ p ) ,

позволяют определить первую передаточную функцию

___________

V_qD = Ö V_qDx²+ V_qDy² .

Для третьего векторного контура l _AS2= l _AB+ l _BS2проекции на оси координат

x_S2= x_B+ l_BS2× cos (j₂+ p ) ,

y_S2= y_B + l_BS2× sin (j₂+ p ) .

Производные от этих выражений

V_qS2x= V_qBx- l_BS2× u₂₁× sin (j₂+ p ) ,

V_qS2y= V_qBy+ l_BS2× u₂₁× cos (j₂+ p ) ,

позволяют определить первую передаточную функцию

___________

V_qS2 = Ö V_qS2x²+ V_qS2y² .

Для четвертого векторного контура l _AS₃ = l _A_С + l _С_S3 проекции на оси координат

x_S₃ = x_С + l_BS₃ × cos j₂,

y_S₃ = y_С + l_BS₃ × sin j₂.

Производные от этих выражений

V_qS₃_x= - l_С_S3 × u₂₁× sin j₂,

V_qS₃_y= l_CS3× u₂₁× cos j₂ ,

позволяют определить первую передаточную функцию

___________

V_qS2 = Ö V_qS2x²+ V_qS2y² .

Для последнего пятого векторного контура l _AS₁ = x_S1+ y_S1проекции на оси координат

x_S1= l_AS1× cos j₁,

y_S1= l_AS1× sin j₁.

Производные от этих выражений по j₁

V_qS1x= l_AS1× sin j₁,

V_qS1y= l_AS1× cos j₁ ,

позволяют определить первую передаточную функцию

___________

V_qS1 = Ö V_qS1x²+ V_qS1y² .

Построим графики передаточных функций и передаточных отношений, которые необходимы для определения параметров динамической модели в нашем примере.

м

рад

м

рад

Рис. 7.9

рад

рад

Рис. 7.10

м

Рис. 7.11

1.2. Определение движущей силы по условиям в начале и в конце цикла.

Расчет проведем для закона изменения движущей силы, который изображен на рис.7.5. Величина движущей силы в начальном положении механизма рассчитывается по формуле

_ Ù _ _ Ù _

F_д0 = { k × abs [ G₁× V_qS10 × cos (G₁ , dS_S10) + G₂× V_qS₂₀× cos ( G₂ , dS_S₂₀) +

_ Ù _ _ Ù _

+ G₃× V_qS₃₀× cos (G₃ , dS_S₃₀)]} / V_qD0 × cos (F_д₀ , dS_D0) =

= [ k × abs (G₁×V_qS1y0 + G₂× V_qS₂_y0+ G₃× V_qS₃_y0)] / V_qBC₀ .

Принимаем k=1.1 и получаем

F_д0 = 1.1× abs (10000× 2 + 500× 0.97 + 1000× 0.0342)/ 0.967 = 23341.3 Н.

В конечном положении величина движущей силы рассчитывается по формуле:

_ Ù _ _ Ù _

F_д_n= abs [ G₁× V_qS1n × cos (G₁ , dS_S1n) + G₂× V_qS₂_n× cos ( G₂ , dS_S₂_n) +

_ Ù _ _ Ù _

+ G₃× V_qS₃_n× cos (G₃ , dS_S₃_n)]} / V_qDn × cos (F_д_n , dS_Dn) =

= abs (G₁×V_qS1yn + G₂× V_qS₂_yn+ G₃× V_qS₃_yn)] / V_qBCn .

F_д_n= abs (10000× 1.732 + 500× 0.984 + 1000× 0.0207)/ 0.9731 = 18325.7 Н.

Значение движущей силы в интервале ( b - a )× H_D определим по формуле:

F_д^*= {abs( G₁× H_S1+ G₂ × H_S₂ + G₃ × H_S₃ ) -

- [ F_д₀× a + F_д_n× ( 1 - b )] × H_D} / [( b - a )× H_D].

-

Примем a = 0.32 и b = 0.65 и рассчитаем перемещения центров масс

H_S1= y_S1n- y_S10= 1 - 0 = 1 м; H_S₂ = y_S₂_n- y_S₂₀ = 0.162 - (-0.338) = 0.5 м;

H_S₃= y_S₃_n- y_S₃₀= -0.364 - (-0.364) = 0;

подставим полученные значения в формулу и получим

F_д^*= {abs( 10000×1 + 500×0.5 + 1000×0 ) - [23341.3×0.32 + 18325.7×

×(1 - 0.65 )]×0.518}/[( 0.65 - 0.32 )× 0.518 ] = (10250 - 7191)/0.171 = 17889 Н.

Н

рад

Рис. 7.12 F_д= f ( j₁)

1.3. Определение приведенного суммарного момента .

· определение приведенного суммарного момента сил сопротивления

В нашем примере силами сопротивления являются силы веса звеньев механизма, поэтому расчет суммарного приведенного момента сил сопротивления проводим по формуле

_m_{_}_Ù_{_ m}

М^пр_åс = å G_i× V_qSi × cos (F_i , dS_i) = å G_i× V_qSyi.

^{i=1 i=1}

· определение приведенного момента движущей силы

В нашем примере только одна движущая сила, создаваемая давлением жидкости в гидроцилиндре. Приведенный момент от этой силы

_{_}_Ù_{_}

М^пр_Fд_i= F_д_i × V_qDi× cos (F_д_i , V_Di) = F_д_i × V_qBCi .

На рис. 7.13 приведены диаграммы приведенных моментов: сопротивления М^пр_åс, движущего М^пр_Fд_iи суммарного М^пр_åс= М^пр_å + М^пр_Fд_i.

1.4. Определение суммарного приведенного момента инерции

В рассматриваемом механизме приведенный момент инерции суммируется из масс и моментов инерции звеньев и может быть рассчитан по следующей зависимости

₃ ₃

I^пр_å×= å m_i× (V_qSi)² + å I_Si × (w_qi)²=

ⁱ⁼¹ⁱ⁼¹

= m₁ × (V_qS1)² + + m₂ × (V_qS2)² + m₃ × (V_qS3)² + I_S1 + I_S2 × (w_q2)²+ I_S3 × (w_q3)².

Диаграмма приведенных моментов

рад

H×м

Рис. 7.13

М^пр_дМ^пр_сМ^пр_å

рад

кг×м²

Рис. 7.14

рад

кг×м²

Рис.7.15

Графики переменной части суммарного приведенного момента инерции даны на рис. 7.13 и 7.14. Кроме того, имеется и постоянная часть I^пр_å_c, определяемая массой и моментом инерции звена 1

I^пр_å_c = m₁ × (V_qS1)² + I_S1= 1000 × (2)²+ 800 = 4800 кг× м² .

Суммарный приведенный момент инерции и равен сумме постоянной и переменной частей

I^пр_å = I^пр_å_c + I^пр_å_v.

2. Определение суммарной работы внешних сил.

Суммарную работу внешних сил получим интегрированием суммарного приведенного момента М_пр_åпо обобщенной координате dj₁

_p./6

A_åм = ò М_пр_å× dj₁.

⁰

Интегрирование можно проводить различными методами. Воспользуемся методом графического интегрирования. При этом методе участок изменения обобщенной координаты, на котором проводится интегрирование, разбирается на несколько малых частей (в нашем примере 6). В пределах каждого i -го участка кривая М_пр_å= f (j₁) заменяется прямой, соответствующей среднеинтегральному значению М_пр_å_iна этом участке. На продолжении оси абсцисс, влево от начала координат откладываем отрезок интегрирования k₁ . Ординаты среднеинтегральных значений М_пр_å_iпроецируем на ось ординат. Точки пересечения проецирующих линий с осью ординат соединяем прямыми с концом отрезка интегрирования. На диаграмме работы из начала первого участка (и до его конца) под углом y₁к оси абсцисс проводим прямую. Для второго участка аналогичная прямая проводится под углом y₂. Ее начало выбирается в точке пересечения предыдущего отрезка прямой с вертикалью проходящей начало второго участка. Проведя построения для всего интервала интегрирования, получим график работы. Масштаб этого графика определим из подобия треугольников

tg y₁= y_M_пр_å1ср/ k₁= y_D_A_å₁/ x_D_j₁ ,

или m_М × M^пр_å1ср / k₁= m_A× DA_å₁/ m_j× Dj₁,

так как M^пр_å1ср = DA_å₁/ Dj₁, то m_A= m_М× m_j / k₁ .

Графики, иллюстрирующие построение диаграммы работы, приведены на рис.7.16 и 7.17

3. Определение угловой скорости звена приведения

Определение закона движения звена приведения в виде диаграммы изменения угловой скорости в функции обобщенной координаты w₁= f(j₁) проводится по формуле

__________________

w_1i = Ö 2× (A_Мпр_å_i+ T_нач)/ I^пр_å_i ,

Н×м

M^пр_å1ср

y₁

k₁

рад

Рис. 7.16

Н×м рад

рад

Рис. 7.17

Для машин работающих в режиме пуск-останов

w_1нач= 0 и T_нач = 0,

формула принимает вид

____________

w_1i = Ö 2× A_Мпр_å_i/ I^пр_å_i .

Диаграмма w₁= f (j₁ ) приведена на рис. 7.18.

рад/с

рад

Рис.7.18

4. Определение времени цикла.

Время цикла определяется по диаграмме t = f (j₁). Для построения этой диаграммы проведем интегрирование диаграммы угловой скорости

_p./6

dj₁/ dt = w₁Þ dt = dj₁/ w₁, t = ò dj₁/ w₁.

⁰

Воспользуемся методом графического интегрирования обратной величины. При этом участок изменения обобщенной координаты, на котором проводится интегрирование, разбивается на несколько малых участков. В пределах каждого i -го участка кривая w₁= f (j₁) заменяется прямой, соответствующей среднеинтегральному значению w_1ср_iна этом участке. На оси ординат, откладываем отрезок интегрирования k₂ (рис.7.19) . Ординаты среднеинтегральных значений w_1ср_iпроецируем на ось ординат. Точки пересечения проецирующих линий с осью ординат переносим по дугам окружности на продолжение оси абсцисс. Полученные на оси абсцисс точки, соединяем прямыми линиями с концом отрезка интегрирования. Из начала первого участка (на диаграмме времени) и до его конца под углом y₁к оси абсцисс проводим прямую линию. Для второго участка аналогичная прямая проводится под углом y₂. Ее начало выбирается в точке пересечения предыдущего отрезка прямой с вертикалью проходящей начало второго участка. Проведя построения для всего интервала интегрирования, получим график времени. Масштаб этого графика определим из подобия треугольников

tg y₁= k₂/ y_w1ср1= y_D_t1/ x_D_j₁ ,

или k₁/m_w × w_1ср₁ = m_t× Dt₁/ m_j× Dj₁,

так как 1/w_1ср₁ = Dt₁/ Dj₁, то m_w= k₂× m_j / m_w .

5. Построение диаграммы угловой скорости в функции времени

Диаграмма угловой скорости w₁= f ( t ) в функции времени строится по диаграммам w₁= f (j₁ ) и t = f (j₁ ), исключением переменной j₁ .

y₁

k₂

рад/с

Диаграмма угловой скорости звена приведения.

рад

Рис. 7.19

y₁

рад

с

Рис.7.20

6. Определение углового ускорения звена приведения

Для расчета углового ускорения звена приведения e₁= f(j₁) можно воспользоваться двумя различными зависимостями:

а). e₁= dw₁/dt = dw₁/dj₁ × dj₁/dt = w₁ × dw₁/dj₁ ,

б). e₁= dw₁/dt = М^пр_å/ I^пр_å - w₁²/(2× I^пр_å) × (d I^пр_å /dj₁).

Применение первой формулы приводит к большим погрешностям, так как она основывается на использовании одной из конечных зависимостей расчета w₁= f (j₁ ). Кроме того, в точках с нулевыми значениями w₁ расчет по этой формуле дает неверный результат e₁= 0. Поэтому проведем расчет зависимости e₁= f(j₁) по второй формуле. Диаграмма функции e₁= f(j₁) приведена на рис. 7.22.

Рис.7.21

c

рад/c

рад/с²

рад

Рис. 7.22

Метод поднормали (графическое определение производной).

При определении в формуле углового ускорения производной d I^пр_å /dj₁часто используется метод поднормали. На графике дифференцируемой функции (рис. 23) в рассматриваемой точке проводят касательную t - t , нормаль n - n и ординату y_I_пр_å_i. Измеряют отрезок x_i между точками пересечения с осью x ординаты и нормали. Рассчитывают производную с учетом масштабов по осям по формуле

d I^пр_å_i /dj₁ = ( dy_I_пр_å_i/ dx_j₁ ) × ( m_j/m_I ) = tg y_i× ( m_j/m_I )=

= ( y_I_пр_å_i/ x_i) × ( m_j/m_I )

<== previous lecture	\|	next lecture ==>
Типовые диаграммы движущей силы.	\|

lektsiopedia.org - 2013 год. | Page generation: 1.688 s.