Собственные векторы, собственные значения.

Date: 2015-10-07; view: 388.

Опр. – собственный вектор оператора , если существует скаляр такой, что ; тогда – собственное значение.

Свойство. V – собственный вектор – инвариантное подпространство.

Теорема.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда , где Е – тождественный оператор на V. (то есть для любого х E(х) = х)

1) Пусть v – собственный вектор, . Зафиксируем базис в V. Если Х – столбец координат v в этом базисе, то (где А – матрица в ) , где Е – единичная матрица. Следовательно, если собственное значение равно , то

(Примечание: не стоит путать обозначения Aи A(хотя они и очень похожи.). Курсивом обозначен оператор, а обычным шрифтом --- матрица. Также E--- это тождественный оператор, а Е --- это единичная матрица.)

2) Пусть , тогда (А, Е – матрицы , Е в базисе ) система имеет ненулевое решение вектор – собственный,