Жордановы матрицы

Date: 2015-10-07; view: 451.

Опр. Жорданова клетка J_m,l – матрица m x m вида

Опр. Жорданова матрица – блочно-диагональные матрицы из жордановых клеток

,

Опр. Жорданова матрица A называется жордановой нормальной формой (ЖНФ) матрицы B, если B = C^-1AC, где C – некоторая невырожденная матрица.

Теорема 1. Любая комплексная матрица обладает ЖНФ.

(Уважаемый читатель, огромная просьба: не путать линейные операторы и их матрицы!)

Пусть A – матрица n x n. Рассмотрим пространство V над размерности n (dim V = n), с базисом e₁, …, e_n. Пусть A: V®V – линейный оператор с матрицей A в этом базисе. Для A существует корневое разложение , где – собственные числа A. Зафиксируем одно из подпространств: и рассмотрим действие на U оператора B = A - lE. Тогда действие B на U нильпотентно (по доказанному ранее) и также по доказанной теореме $ разложение циклических подпространств. По предыдущему следствию в U есть базис, в котором B имеет блочно диагональную матрицу B = , а каждая B_j – жорданова клетка с l = 0. Поскольку A = B + l_iE, то A(U_j) Í U_j и в том же базисе U оператор A имеет матрицу A = B + l_iE = , где все J₁, …,J_r – жордановы клетки вида . Рассмотрев отдельно все мы поcтроим базис пространства V, в котором матрица A является жордановой матрицей T. Если C – матрица перехода , то T = C^-1AC. ð

Следствие.Для любого линейного оператора на конечномерном комплексном пространстве можно выбрать базис, в котором матрица оператора является жордановой матрицей.