Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 407.

Индукция по dim V. Если dim V = 1, то V = <v>, B v = 0.

Пусть dim V > 1. Обозначим U = B(V). Если U = 0, то V – прямая сумма одномерных циклических подпространств. Пусть U ¹ 0. Ясно, что B(U) Í U.

Шаг 1: Т.к. ker B ¹ 0, то dim U < dim VÞ (по инд.) – сумма циклических подпространств, где U₁ = <u₁, Bu₁,…>, … ,U_k = <u_k, Bu_k,…>. Т.к. U = B(V), то u₁ = Bv₁,…, u_k = Bv_k. Докажем, что векторы , u₁,…, u_k, Bu₁,…, Bu_k… (все ненулевые векторы вида B^m(v_j)) линейно независимы. Пусть w = a₁v₁ + … +a_kv_k + b₁u₁ + … +b_ku_k + … = 0. Применим B: a₁u₁ + … +a_ku_k + b₁Bu₁ + … +b_kBu_k + … = 0. Т.к. это линейная комбинация базисных векторов пространства U, то все коэффициенты a₁,…a_k, b₁,…,b_k, … равны нулю.

Шаг 2: Обозначим за W_i = <v_i, u_i, Bu_i,…>. Это циклическое подпространство для B, и, по доказанному в Шаге 1, их сумма – прямая, . Теперь докажем, что B(W) = U. Включение B(W) Í U очевидно. Пусть Тогда x = a₀u_i +a₁Bu_i + … +a_mB^mu_i. Пусть y = a₀v_i +a₁u_i + … +a_mB^m-1u_i. Тогда By = x. Если то By_i = x_i Þ B(y₁ +… + y_k) = x Þ B(W) = U.

Шаг 3: Если W = V, то теорема доказана. Пусть W ¹ V. Тогда , линейно независимые, и Заменим на следующим образом:

– если Bw_j = 0,

– если Bw_j = x_j ¹ 0, то By_i = x_i (см. Шаг 2). В этом случае положим

Шаг 4: Векторы обладают следующими свойствами:

1) B

2)

3) – линейно независимы

Докажем, например, 2). Если , то все a_i = 0. ( 3) – аналогично). Из 1), 2), 3) следует, что – разложение V в сумму циклических подгрупп для B. ð

Следствие. Пусть B: V®V – нильпотентный оператор на V. Тогда $ базис V, в котором матрица B имеет вид B = , где B_i – квадратные матрицы вида

Разложим V в прямую сумму циклических подпространств для оператора B. В каждом циклическом подпространстве U = <u, Bu, …,B^tu>, B^t+1u = 0 выберем базис e₁ = B^tu, e₂ = B^t-1u, …, e_t+1 = u. Объединяя эти базисы, получаем наше утверждение. ð