Сопряжённые операторы

Date: 2015-10-07; view: 407.

Пусть — евклидово пространство, .

Опр. сопряжён к (обозначается ), если .

Таким образом, по определению . Существование для любого оператора сопряжённого, докажем чуть позже.

Предложение. и

(1).

а значит, по предыдущей теореме .

(2). .

Теорема. Пусть — матрица оператора в ортонормированном базисе . Тогда имеет в этом базисе матрицу .

Обозначим . Пусть — матрица в базисе . Тогда:

, . Непосредственно из определения и ортонормированности базиса следует, что . Итак, доказано, что .

Замечание. Мы ещё не доказали существование сопряжённого оператора для любого, но это очевидно (достаточно положить = и провести аналогичное доказательство).