Полярное разложение.

Date: 2015-10-07; view: 513.

Теорема.Пусть — невырожденный линейный оператор на евклидовом пространстве . Тогда существуют ортогональный оператор и самосопряжённый оператор с положительными собственными значениями, такие, что .

1) Положим, что , где * - сопряжённый к . Тогда . То есть самосопряжён.

2) Существует ортонормированный базис, в котором имеет матрицу . Пусть — одно из собственных чисел , и — собственный вектор. Тогда . Отсюда и , то есть все — положительны.

3) Существует самосопряжённый оператор с матрицей в том же базисе. Ясно, что и — невырожденный.

4) Положим . Тогда так как . То есть ортогонален.

Тем самым мы доказали существование полярного разложения.