Координаты тензоров.

Date: 2015-10-07; view: 379.

Пусть - базис . Рассмотрим в сопряжённом пространстве дуальный базис . Т.е. .

Обозначим через пространство тензоров типа на . Тогда любое произведение

(3)

является тензором типа , т.е. полилинейной функцией: . Эти тензоры линейно независимы по следующей причине: (4)

Теорема. Тензоры вида (3) образуют базис векторного пространства .

То, что - пространство – очевидно, если определить сложение обычным образом:

. Умножение на скаляр – тоже обычное. Линейная независимость (3) уже показана. Осталось проверить, что любой тензор линейно выражается через систему (3). Пусть . Обозначим (5). Тогда из формулы (4) следует, что если взять тензор , то , т.е. значения и на всех возможных наборах базисных векторов совпадают. Т.к. и - полилинейные функции, то , и (3) – базис пространства .

Определение: Принято говорить, что из формулы (5) – координаты тензора в базисе .

Следствие: .

18 апреля 2005