Свёртки тензоров.

Date: 2015-10-07; view: 507.

Пусть - тензор типа . Зафиксируем числа и , и определим свёртку по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу следующим образом. Т.к. , где , а , то можно определить сумму , где - базис , а - дуальный базис .

Определение. называется свёрткой тензора по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу.

Ясно, что - полилинейная функция от оставшихся аргументов, т.е. . Докажем, что не зависит от выбора базиса пространства .

Доказательство: пусть - другой базис пространства , а - матрица перехода от базиса к базису . Тогда . Напомним, что для дуальных базисов имеем: , где (смотри доказательство предыдущей теоремы). Зафиксируем для удобства все остальные переменные у кроме и , обозначим . Тогда . Получаем: .

Заметим, что - произведение i-ой строки матрицы на j-ый столбей матрицы . Т.к. эта сумма равна , .

23.04.2005

Связь координат тензора T и его свертки .

Теорема. Свертка по s-тому ковариантному и r-тому контравариантному индексам тензора T типа (p,q) является тензором типа (p-1,q-1) с координатами

То, что свертка – тензор типа - проверено. Пусть , где . Как и раньше, обозначим через . Обозначим . Тогда

.

Знак «домик» означает пропуск соотв. индекса (т.е. ). Соотношение (1) и есть утверждение теоремы.

Пример. Тензор типа (1,1) - это матрица . Его свертка равна - след матрицы A.