Действие симметрической группы на тензорах.

Date: 2015-10-07; view: 449.

Пусть T – тензор типа , т.е. , и - группа подстановок множества . Для любой определим отображение . Ясно, что - тензор типа . Аналогично можно определить действие на .

Опр. Тензор T типа называется симметричным, если .

Ясно, что - линейный оператор на .

Опр. Симметризацией тензоров из называется отображение .

Пример. Возьмем подстановку . Тогда

. .

Обозначим через подпространство всех симметричных тензоров из .

Теорема. Действие симметризации на обладает следующими свойствами:

1) и 2) .

(а) Если T – симметричный тензор, то .

(б) Покажем, что симметризация любого тензора симметрична. . Из формулы получаем (т.к. ). Пункт (б) означает, что . Теперь из (а) следует, что и из (б) и (а) следует 1).