КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ

Date: 2015-10-07; view: 435.

Опр. Тензор называют кососимметричным, если , где - знак подстановки. Эквивалентно, . Кососимметричные тензоры образуют подпространство в , которое принято обозначать .

Опр. Элементы (т.е. p раз контравариантные кососимметричные тензоры) называют внешними p-формами или внешними формами степени p на V.

Аналогично вводятся множество кососимметричных контравариантных тензоров на (название – q-вектора).

25.04.05

Опр. Отображение на пространстве (или ) называют альтернированием.

Теорема. Отображение A является линейным оператором на со следующими свойствами:

1) 2) 3)

1) Поскольку , то , учитывая, что и . При фиксированном и при , пробегающем все подстановки из произведение также пробегает . Поэтому и не зависит от . Следовательно .

2) Пусть . Тогда , а значит (по определению) - кососимметричный тензор, откуда и следует . Обратное включение следует из того, что для всякого кососимметричного тензора .

3) Равенство доказывается так же, как и равенство (см. пред. пункт).

Замечание. Отличие теоремы для только в том, что .