Способ решения системы m линейных уравнений с n неизвестными – метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)

Date: 2015-10-07; view: 378.

На практике чаще всего применяется метод Гаусса – метод построения решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1) расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;

2) сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;

3) в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;

4) выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;

5) если , то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;

6) если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение системы.

Пример 1.12.Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

~ ~

~ ~

Таким образом,

– общее решение или

( , , , ).

Пример 1.13.Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составляем расширенную матрицу (A|B), преобразуем ее так, чтобы вместо матрицы А получить единичную, тогда вместо матрицы B получим ответ.

~ 2^ая строка +1^ая, умноженная на -2; 3^ая строка +1^ая, умноженная на -3 ~ ~ меняем местами 2^ую и 3^ю строки ~ ~ 2^ую строку умножим на -1 ~ ~ 3^я строка +2^ая, умноженная на 4 ~ ~ 3^ю строку делим на -37 ~ ~ 2^ая строка +3^я, умноженная на 10; 1^ая строка +3^я, умноженная на 3 ~ ~ из 1^ой строки вычитаем 2^ую ~ .

Получаем ответ .