Раздел 2. Системы алгебраических уравнений.
Date: 2015-10-07; view: 413.
1) Однородная С.Л.У. – С.Л.У в которой столбец коэффициентов b = 0
Неоднородная С.Л.У – С.Л.У в которой столбец коэффициентов отличен от 0.
2) Совместная система – rankA=rankᾹ => есть решения
Несовместная система – rankA<rankᾹ => нет решений
Определенная система – r = n => одно решение
Неопределенная система – r < n => ∞ число решений
3) Общее решение системы – совокупность всех частных решений системы А, если она имеет >1 решения.
Частное решение системы – каждое решение системы А, если она имеет >1 решения.
Равносильные системы – две системы, которые имеют одинаковые общие решения или обе не имею решений.
4) Минор k-ого порядка матрицы
Пусть в матрице размера m x n выбраны произвольно k строк и k столбцов, причем
k ≤ min(m,n). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк/столбцов, образую квадратную матрицу порядка k, где |k| называется минором k-ого порядка матрицы.
5) Ранг матрицы - максимальный порядок rank отличных от нуля миноров матрицы.
6) Базисный минор – если rankA = r, то миноры k-ого порядка ≠0 будут базисными.
Базисные строки/столбцы – строки/столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор.
7) Элементарные преобразования над строками матрицы, трапециевидная матрица.
а) умножение строки на α≠0
б) прибавление одной строки к другой
в) перемена строк местами
Трапециевидная матрица:
8) Свойства элементарных преобразований над строками матрицы.
а) операция смены строк местами равносильна последовательности первых двух операций ( п.7а и б)
б) операции обратимы
в) при элементарных операциях ранг не меняется
9) Элементарные преобразования системы линейных уравнений
а) перестановка уравнений
б) умножение уравнения на α≠0
в) сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую α≠0
10) Базисные переменные – переменные системы, расположенные на базисных столбцах исходной матрицы коэффициентов.
Свободные переменные – остальные переменные.
ФСР – набор вектор-столбцов Xi1, Xi2…Xik, номера которых являются свободными столбцами исходной матрицы коэффициентов.
Частное решение неоднородной системы – AX=B это вектор-столбец X, полученный при нулевых значениях свободных переменных.
Общее решение неоднородной системы – AX=B это X=X0+C1X1+C2X2+…+Cn-rXn-r, где Х0 – некоторое частное решение системы уравнений AX=B, а остальные – ФСР однородной системы AX=0
11) Формулировка теоремы о числе решений
Если ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система имеет решение. Если ранг r = n (числу неизвестных), то система имеет 1 решение, а если r < n, то решений ∞, а именно: некоторым (n-r) неизвестным нужно придать произвольное значение, тогда оставшиеся r неизвестных определяются по формулам Крамера.
12) Альтернативы Фредгольма
Для всякой системы из m уравнений с n неизвестными
справедливо одно из 2х утверждений:
а) при любом В AX=B совместна => ATX=0 имеет единственное тривиальное решение => rankA=m (кол-ву строк) => rankAT=rankA=n (кол-во столбцов) => существует единственное тривиальное решение (первая Альтернатива)
б) существует такое B, при котором AX=B будет несовместной => ATX=0 имеет ∞ нетривиальных решений => rankA < m (строки) => rankAT < n (столбцы) => существуют нетривиальные решения. (вторая Альтернатива)
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Раздел 1. Матрицы и определители. | | | Раздел 3. Векторная алгебра |