Раздел 3. Векторная алгебра

Date: 2015-10-07; view: 470.

1) Координатное определение вектора, сумма и произведение векторов.

Упорядоченная совокупность n чисел a₁, a₂…a_n называется n-мерным вектором и обозначается a=(a₁, a₂…a_n), где числа a₁…a_n – координаты вектора, а число n – размерность вектора.

Суммой двух векторов a=(a₁, a₂…a_n) и b=(b₁, b₂…b_n) называется вектор с=а+b, каждая координата которого равна сумме одноименных координат слагаемых векторов c=a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂…a_n+b_n)

Произведением числа λ на n-мерный вектор a=(a₁, a₂…a_n), называется вектор

λa= a=(λa₁, λa₂…λa_n)

2) Скалярное произведение векторов – пусть задано n-мерное пространство Rⁿ над полем действительных чисел и вектора с координатами x=(x₁,x₂…x_n) и y=(y₁,y₂…y_n), тогда выражение

называется скалярным произведением векторов.

Если в n-мерном векторном пространстве Rⁿопределено скалярное произведение, то такое векторное пространство называют евклидовым и обозначают Eⁿ.

Скалярное произведение векторов удовлетворяет свойствам:

а)

б)

в)

г) , если и если

Длиной (нормой) вектора называется число:

Вектор, с длиной равной единице, называется нормированным

Углом между ненулевыми векторами называется угол, принадлежащий промежутку [0;П] и удовлетворяющий условию . Условие гарантирует единственное значение угла .

3) Векторным произведением векторов a,b в пространстве R³ c ортонормированным базисом e₁, e₂, e₃, называется третий вектор С, удовлетворяющий условиям:

а) вектор С перпендикулярен и вектору а и вектору b

б) длина вектора С равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними

|c|=|a||b|sin<(ab) (1)

в) тройки векторов {a,b,c} и {e₁, e₂, e₃} имеют одинаковую ориентацию (либо обе правые, либо обе левые).

Обозначение векторного произведения: с=axb или c=[ab]

Из формулы (1) следует, что длина (модуль) вектора С равна площади параллелограмма, построенного на векторах a,b или S=|[ab]|

4) Представление векторного произведения через определитель координатной матрицы.

При вычислении векторного произведения удобна следующая формула: если векторы a,b заданы своими координатами a=(a₁, a₂, a₃) и b=(b₁, b₂, b₃), то

axb=

Тогда площадь параллелограмма будет равна:

S=|[ab]|=

5) Смешанным произведением векторов a,b,c в пространстве R³ и с ортонормированным базисом e₁, e₂, e_3,называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор С.

Обозначение: ([axb]),c)

6) Запись условия компланарности векторов в матричной форме.

компланарны если:

7) Представление смешанного произведения через определитель координатной матрицы.

Если векторы a,b,c заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

8) Система векторов евклидова пространства называется ортогональной если:

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной если:

9) Линейная комбинация системы векторов это выражение с коэффициентами

10) Система векторов называется линейно зависимой, если найдется их линейная комбинация, равная нулевому элементу , не все коэффициенты которой равны нулю.

Свойства линейно зависимой системы векторов:

а) любое расширение линейно зависимой системы оставляет ее линейно зависимой

б) если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы

в) система векторов будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда ранг ее координатной матрицы меньше числа векторов.

г) если в системе присутствуют коллинеарные вектора, то система линейно зависима

11) Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулю, только если все коэффициенты – тривиальные.

Свойства линейно независимой системы векторов:

а) любое сужение линейно независимой системы оставляет ее линейно независимой

б) система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ранг координатной матрицы равен числу векторов системы.

в) если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

12) Базис векторного пространства:

Пусть М подпространство n-мерного векторного пространства и система векторов из М. Эта система называется базисом векторного подпространства М, если

а) она линейно независима

б) для любого вектора из М существуют такие числа , что линейно выражается через , т.е.

При этом, линейная комбинация называется разложением вектора по базису , а числа координатами вектора в данном базисе.

13) Координатная матрица: пусть дана линейная комбинация и числа . Если каждый из векторов представить в виде: где 1,2,3 – координаты вектора, а i номер вектора из комбинации, то А= называется координатной матрицей системы векторов.

Матрица базисного преобразования: пусть дан базис в , тогда

- новая система векторов (*)

переписываем по другому: то есть . Если detA , то матрицу А называют матрицой базисного преобразования

14) Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом L ( )

15) Свойства линейной оболочки:

а) Линейная оболочка элементов векторного пространства является подпространством М векторного пространства .

б) Линейная оболочка может совпадать со всем пространством , если образующая система является базисом в пространстве .

в) Линейная оболочка L ( ) является наименьшим подпространством, содержащим элементы . Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.

16) Выражение для скалярного произведения векторов в данном базисе в координатной и матричной форме.

Пусть - базис в и векторы представлены в этом базисе своими разложениями: и , тогда скалярное произведение этих векторов имеет вид: или в матричной форме