СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.
Date: 2015-10-07; view: 411.
СОДЕРЖАНИЕ
Новосибирск 2005
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ЛЕКЦИИ
| § 1. | Векторное пространство R n…………………………………….. | ||
| 1. | Пространство R n и его подпространства……………………... | ||
| 2. | Системы векторов……………………………………………… | ||
| 3. | Теорема о замене……………………………………………….. | ||
| 4. | Базис и размерность подпространства пространства R n……. | ||
| 5. | Базисы пространства R n……………………………………….. | ||
| 6. | Базис и ранг системы векторов………………………………... | ||
| 7. | Координаты вектора в данном базисе………………………… | ||
| § 2. | Обыкновенные жордановы исключения ( ОЖИ )…………………... | ||
| 1. | Жордановы таблицы и их трактовка………………………….. | ||
| 2. | Определение одного шага ОЖИ………………………………. | ||
| 3. | Алгоритм отыскания базиса системы векторов……………… | ||
| § 3. | Матрицы и определители…………………………………………….. | ||
| 1. | Матрицы и операции над ними………………………………... | ||
| 2. | Обратная матрица. Ранг матрицы……………………………... | ||
| 3. | Определители и их свойства…………………………………... | ||
| § 4. | Системы линейных уравнений……………………………………….. | ||
| 1. | Основные понятия и определения…………………………….. | ||
| 2. | Системы n линейных уравнений с n неизвестными…………. | ||
| 3. | Общие системы линейных уравнений………………………... | ||
| 4. | Однородные системы линейных уравнений………………….. | ||
| 5. | Неоднородные системы линейных уравнений……………….. | ||
| 6. | Метод Гаусса решения систем линейных уравнений………... |
© Л.С. Колодко 2005
§ 1. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО R n
1. ПРОСТРАНСТВО R n И ЕГО ПОДПРОСТРАНСТВА.
Пусть n — некоторое натуральное число. Рассмотрим множество
{`x = ( x 1, x 2, … , x n )} всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел. Введем на этом множестве операции сложения элементов множества и умножения их на вещественные числа.
Пусть`x = ( x 1, x 2, … , x n ),`y = ( y 1, y 2, … , y n ), l — некоторое вещественное число.
Тогда`x +`y = ( x 1 + y 1, x 2 + y 2, … , x n + y n ), l`x = (l x 1, l x 2 , … , l x n ).
Множество всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел с введенными на нем операциями сложения и умножения на число называется векторным пространством R n. Элементы`x = ( x 1, x 2 , … , x n ) этого пространства называются n -мерными векторами, а сами числа
x 1, x 2 , … , x n — компонентами, или координатами вектора`x. Нулевым вектором`0 и вектором –`x, противоположным вектору`x называются векторы
`0 = (0, 0, ¼ , 0) и –`x = (– x 1, – x 2 , … , – x n ).
Очевидно, что введенные операции удовлетворяют следующим условиям:
1) `x +`y =`y +`x,
2) `x + (`y +`z ) = (`x +`y ) +`z ,
3) $ 
Î R n:`x +`0 =`x,
4) "`x Î R n $ –`x Î R n:`x + (–`x ) =`0,
5) " a, b Î R,`x Î R n: a (b`x) = (a b)`x,
6) " a, b Î R,`x Î R n: (a + b)`x = a`x + b`x,
7) " a Î R,`x,`y Î R n: a (`x +`y ) = a`x + a`y,
8) 1 ·`x =`x.
Частными случаями пространства R n при n = 2 и n = 3 являются множества R 2 и R 3 двумерных и трехмерных векторов плоскости или пространства соответственно.
Подпространством пространства R n называется его подмножество L, удовлетворяющее двум условиям, которые называются условиями линейности:
1) `x,`y Î L Þ`x +`y Î L,
2) `x Î L, a Î R Þ a`x Î L.
Примеры подпространств: {`0 }, R n. В пространстве R 2 подпространством является также множество радиус-векторов точек, лежащих на прямой, проходящей через начало координат, в R 3 — множество радиус-векторов точек, лежащих на прямой или на плоскости, проходящей через начало координат.
Два ненулевых вектора`a и`b называются пропорциональными, если существует такое вещественное число l, что`a = l`b.
Множество, состоящее из k векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k , называется системой векторов.
Вектор`b называется линейной комбинацией векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k, если существуют такие числа l 1, l 2 , ¼ , l k , что
`b = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k .
В этом случае говорят, что вектор`b линейно выражается через векторы
`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k .
Совокупность всевозможных линейных комбинаций векторов
`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k называется линейной оболочкой системы векторов
`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k и обозначается L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Например, в пространстве R 3 L (`a ) — прямая, проходящая через начало координат; если`a и`b неколлинеарные, то L (`a,`b ) — плоскость, проходящая через начало координат.
Рассмотрим в R n векторы
`e 1 = (1, 0, … , 0),`e 2 = (0, 1, … , 0), … ,`e n = (0, 0, … , 1).
Тогда L (`e 1,`e 2 , … ,`e n ) = R n.
Действительно, если`x Î L (`e 1,`e 2 , … ,`e n ), то
`x = l 1`e 1 + l 2`e 2 + ¼ + l n`e n Î R n, то есть L (`e 1, `e 2 , …,`e n ) Ì R n.
Пусть теперь`x Î R n. Тогда
`x = (x 1, x 2 , … , x n ) = (x 1, 0, … , 0) + (0, x 2, … , 0) +…+ (0, 0, … , x n ) =
= x 1 (1, 0, …, 0) + x 2 (0, 1,…, 0) + … + x n (0, 0, … , 1) Î L (`e 1, `e 2 , … ,`e n ). Следовательно, R n Ì L (`e 1, `e 2 , … ,`e n ) и L (`e 1, `e 2 , … ,`e n ) = R n.
ТЕОРЕМА 1.
Линейная оболочка системы векторов пространства R n является подпространством пространства R n.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть дана система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k. Возьмем вектор
`x Î L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ). Тогда `x = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k Î R n, то есть L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ) Ì R n. Проверим выполнение условий линейности из определения подпространства.
1) Возьмем `x,`y Î L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Тогда `x = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k,`y = m 1`a 1 + m 2`a 2 + ¼ + m k`a k ,
`x +`y = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k + m 1`a 1 + m 2`a 2 + ¼ + m k`a k =
= (l 1 + m 1)`a 1 + (l 2 + m 2)`a 2 + ¼ + (l k + m k )`a k Î L (`a 1,`a 2, ¼ ,`a k ).
2) Пусть теперь`x Î L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ), a Î R.
Тогда`x = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k,
a`x = a l 1`a 1 + a l 2`a 2 + ¼ + a l k`a k Î L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Теорема доказана.
Если подпространство L пространства R n является линейной оболочкой векторов`a 1,`a 2, ¼,`a k, то говорят, что система векторов`a 1,`a 2, ¼ ,`a k порождает подпространство L.
ТЕОРЕМА 2.
Если вектор`b линейно выражается через векторы`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k, то
L (`b,`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ) = L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Так как вектор`b линейно выражается через векторы`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k , то`b = a 1`a 1 + a 2`a 2 + ¼ + a k`a k .
Возьмем вектор`x Î L (`b,`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Тогда`x = l 0`b + l 1`a 1 + l 2`a 2 +¼+ l k`a k =
= l 0 (a 1`a 1 + a 2`a 2 + ¼ + a k`a k) + l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k =
= (l 0 a 1 + l 1)`a 1 + (l 0 a 2 + l 2)`a 2 +¼+ (l 0 a k + l k)`a k Î
ÎL (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ) Þ L (`b,`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ) Ì L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Возьмем вектор`x Î L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Тогда`x = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k Þ
Þ`x = 0`b + l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k Þ`x Î L (`b,`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Следовательно, L (`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ) Ì L (`b,`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ).
Теорема доказана.
Рассмотрим систему векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k . Нулевая линейная комбинация 0`a 1 + 0`a 2 + ¼ + 0`a k =`0, имеющая только нулевые коэффициенты, называется тривиальной линейной комбинацией векторов этой системы.
Существуют ли нетривиальные линейные комбинации векторов системы `a 1,`a 2 , ¼ ,`a k , равные нулевому вектору`0? Ответ на этот вопрос зависит от свойств самой системы векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k .
Система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k называется линейно зависимой, если существует нетривиальная нулевая линейная комбинация ее векторов, то есть существует линейная комбинация l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k =`0, в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k называется линейно независимой, если не существует нетривиальной нулевой линейной комбинации ее векторов, то есть из равенства l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k =`0 следует, что
l 1 = l 2 = ¼ = l k = 0.
Например, линейно зависимой является система, состоящая из двух коллинеарных векторов в R2 или в R3, система из трех компланарных векторов в R3. Любые два неколлинеарных вектора в R2 или в R3, а также три некомпланарных вектора в R3 образуют линейно независимую систему.
Докажите это в качестве упражнения.
ОСНОВНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ О ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫХ СИСТЕМАХ.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1.
Система, состоящая из одного вектора`a, линейно зависима тогда и только тогда, когда`a =`0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть система, состоящая из одного вектора`a, линейно зависима, то есть существует линейная комбинация l`a =`0, в которой l ¹ 0. Тогда`a =`0.
Обратно. Если`a =`0, то 1`a =`0. Существование этой линейной комбинации доказывает линейную зависимость системы.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2.
Для того, чтобы система, состоящая из двух ненулевых векторов`a и`b, была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы векторы`a и`b были пропорциональны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть система, состоящая из векторов`a и`b, линейно зависима. Тогда существует линейная комбинация l 1`a + l 2`b =`0, в которой l 1 ¹ 0 или
l 2 ¹ 0. Тогда либо`a = 
`b, либо`b = 
`a , то есть векторы`a и`b пропорциональны.
Обратно. Если`a = l`b, то`a – l`b =`0, 1 ·`a – l`b =`0, 1 ¹ 0. Поскольку полученная нулевая линейная комбинация содержит ненулевой коэффициент, система, состоящая из векторов`a и`b, линейно зависима.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3.
Если какая-либо часть системы векторов линейно зависима, то вся система линейно зависима.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть в системе векторов`a 1,`a 2 , ¼,`a m , ¼,`a k векторы
`a 1,`a 2 , ¼ ,`a m образуют линейно зависимую подсистему. Это означает, что существует линейная комбинация l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l m`a m =`0, в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда линейная комбинация
l 1`a 1 + l 2`a 2 + l m`a m + 0`a m + 1 + ¼+ 0`a k =`0 +`0 =`0 тоже содержит ненулевые коэффициенты. Отсюда следует, что система векторов
`a 1,`a 2 , ¼ ,`a m , ¼ ,`a k линейно зависима.
СЛЕДСТВИЯ.
1) Любая часть линейно независимой системы векторов линейно независима.
Это утверждение легко доказывается рассуждением от противного.
Предполагая, что некоторая часть линейно независимой системы является линейно зависимой, получаем противоречие утверждению 3.
2) Если в системе векторов имеется нулевой вектор или два пропорциональных (в том числе два равных) вектора, то эта система линейно зависима.
УТВЕРЖДЕНИЕ 4.
Если система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k линейно независима, а система
`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ,`b линейно зависима, то вектор`b линейно выражается через векторы`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Так как система`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k ,`b линейно зависима, то существует линейная комбинация l 1`a 1 + l 2`a 2 +¼+ l k`a k + l 0`b =`0, в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Докажем, что l 0 ¹ 0. Действительно, если l 0 = 0, то получаем нетривиальную линейную комбинацию
l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k =`0, существование которой противоречит линейной независимости системы векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k . Следовательно,
l 0 ¹ 0, и `b = 
`a 1 
`a 2 – ¼ 
`a k , что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА. Критерий линейной зависимости.
Для того чтобы система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов этой системы можно было представить в виде линейной комбинации остальных.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k является линейно зависимой. Тогда существует линейная комбинация l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k =`0, в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Для определенности будем считать, что l 1 ¹ 0. Тогда `a 1 = 
`a 2 
`a 3 – ¼ 
`a k, то есть`a 1 Î L (`a 2 ,`a 3 , ¼ ,`a k ).
Пусть теперь один из векторов (например,`a 1 ) линейно выражается через остальные, то есть`a 1 = l 2`a 2 + l 3`a 3 + ¼ + l k`a k .
Тогда линейная комбинация`a 1 – l 2`a 2 – l 3`a 3 – ¼ – l k`a k =`0 является нетривиальной, и система векторов`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k линейно зависима. Теорема доказана.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Раздел 3. Векторная алгебра | | | ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ. |