ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Date: 2015-10-07; view: 405.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида A`x =`0.

Однородные системы всегда совместны, так как A`0 =`0 — верное равенство. Таким образом, если система A`x =`0 имеет единственное решение, то это`x <sup>*</sup> =`0. Если же однородная система имеет ненулевое решение, то в силу теоремы об определенности это означает, что она имеет бесконечно много решений.

ТЕОРЕМА.

Множество решений X ^* системы уравнений A`x =`0 с n неизвестными образует подпространство пространства R ⁿ.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Проверим выполнение условий линейности из определения подпространства.

Возьмем векторы`x,`y Î X ^*. Докажем, что их сумма`x +`y Î X ^*.Так как`x,`y Î X ^*, то A`x =`0 и A`y =`0. Убедимся, что A (`x +`y ) =`0. Действительно, A (`x +`y ) = A`x + A`y =`0 +`0 =`0, то есть`x +`y Î X ^*.

Пусть теперь`x Î X <sup>*</sup>, l Î R. Докажем, что l`x Î X ^*. Так как A`x =`0, то A (l`x) = l (A`x) = l`0 =`0, то есть l`x Î X ^*.

Следовательно, X ^* является подпространством пространства R ⁿ.

Теорема доказана.

Множество решений однородной системы линейных уравнений называется пространством решений этой системы.

Базис пространства решений называется фундаментальной системой решений. В дальнейшем мы увидим, что фундаментальная система решений содержит n – r векторов (n — количество неизвестных системы A`x =`0, r — ранг матрицы A), откуда следует, что dim X ^* = n – r.

Рассмотрим алгоритм построения фундаментальной системы решений.

Предположим, что при решении некоторой однородной системы уравнений методом ОЖИ мы получили итоговую таблицу

Из свободных переменных x _{r + 1} , … , x _n составим вектор , который принадлежит пространству R ^{n – r}. Построим n – r решений системы уравнений, придавая свободным переменным x _{r + 1} , … , x _n значения так, чтобы составленные из них векторы совпадали с векторами`e <sub>1</sub>,`e ₂ , …,`e _{n – r} — стандартным базисом пространства R ^{n – r}.

Пусть =`e ₁ = .

Выпишем из таблицы соответствующие значения базисных переменных: x ₁ = b _{1 r + 1}, …, x _r = b _{r r + 1}. Решение`V <sub>1</sub>, соответствующее данному набору значений свободных переменных, имеет вид`V ₁ = .

Для построения решения`V <sub>2</sub> возьмем = `e ₂ = .

Выпишем из таблицы соответствующие значения базисных переменных: x ₁ = b _{1 r + 2}, … , x _r = b _{r r + 2} .

Следовательно, решение`V<sub>2</sub> имеет вид`V₂ = .

Продолжая процесс, для построения решения`V _{n – r} возьмем

=`e _n = . Соответствующие значения базисных переменных:

x ₁ = b _{1 n} , … , x _r = b _{r n} , `V _{n – r} = .

В итоге получили систему векторов`V <sub>1</sub> ,`V ₂ , … ,`V _{n – r} , которая является фундаментальной системой решений, то есть базисом пространства решений нашей однородной системы уравнений.

Действительно, система векторов`V <sub>1</sub>,`V ₂ , … ,`V <sub>n – r</sub> линейно независимая, так как из равенства l <sub>1</sub>`V ₁ + l ₂`V<sub>2</sub> + … + l <sub>n – r</sub>`V _{n – r} =`0 с очевидностью следует, что l ₁ = l ₂ = … = l _{n – r} = 0. ( Проверьте!)

Кроме того, любое решение`x <sup>*</sup> = можно представить в виде линейной комбинации векторов`V ₁,`V<sub>2</sub> , … ,`V _{n – r}. В самом деле, из итоговой жордановой таблицы следует, что , и, следовательно,`x ^* = = x^*_{r + 1} + x^*_{r + 2} +… + x^*_n =

= x^*_{r + 1}`V <sub>1</sub> + x<sup>*</sup><sub>r + 2</sub>`V ₂ + … + x^*_n `V _{n – r} .

Поскольку любое решение однородной системы линейных уравнений можно представить в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений, получаем формулу для общего решения`x _{o o} однородной системы:

`x <sub>o o</sub> = l <sub>1</sub>`V ₁ + l ₂`V <sub>2</sub> + … + l <sub>n – r</sub>`V _{n – r} ,

где`V <sub>1</sub> ,`V ₂ , … ,`V _{n – r} — фундаментальная система решений, а

l ₁, l ₂ , … , l _{n – r} — произвольные вещественные числа.