НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Date: 2015-10-07; view: 384.
| Пусть дана неоднородная система A`x =`b. | (1) |
| Рассмотрим наряду с ней однородную систему A`x =`0 | (2) |
с той же самой матрицей А. Между решениями систем (1) и (2) существует связь, определяемая следующими теоремами.
ТЕОРЕМА 1.
Сумма произвольного решения системы (1) и произвольного решения системы (2) является решением системы (1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть`x 1 — решение системы (1), а`x 0 — решение системы (2), то есть A`x 1 =`b, A`x 0 =`0. Рассмотрим вектор`x =`x 1 +`x 0 . A`x = A (`x 1 +`x 0 ) = = A`x 1 + A`x 0 =`b +`0 =`b. Следовательно,`x является решением системы (1). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.
Разность любых двух решений системы (1) является решением системы (2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть`x 1 и`x 2 — произвольные решения системы (1), то есть
A`x 1 =`b, A`x 2 =`b. Рассмотрим вектор`x =`x 1 –`x 2 .
A`x = A (`x 1 –`x 2 ) = A`x 1 – A`x 2 =`b –`b =`0. Следовательно,`x является решением системы (2). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 3.
Пусть`x ч н — некоторое частное решение неоднородной системы A`x =`b.
Для того, чтобы вектор`x был решением системы A`x =`b необходимо и достаточно, чтобы вектор`x можно было представить в виде суммы
`x =`x ч н +`x 0 , где`x 0 — решение однородной системы A`x =`0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Если`x =`x ч н +`x 0 , то по теореме (1) он является решением системы A`x =`b.
Обратно, если`x является решением системы A`x =`b, то, очевидно,
`x =`x ч н + (`x –`x ч н ). По теореме (2) вектор`x 0 =`x –`x ч н является решением системы A`x =`0. Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ.
Общее решение`x о н неоднородной системы A`x =`b имеет вид
`x о н =`x ч н +`x о о .
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. | | | МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. |