I. Определение ранга матрицы

Date: 2015-10-07; view: 470.

Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу

Выделим из этой матрицы произвольные k строк и k столбцов. Получим квадратную матрицу k–го порядка.

Опр. Минором k–го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из матрицы А выделением произвольных k строк и k столбцов. Обозначается

Замечание. Матрица имеет миноров k -го порядка.

Опр. Рангомматрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А. Обозначается r (A); rang A; rg A.

Итак, ранг матрицы А равен r, т.е r(A)=r, означает, что в матрице А есть минор порядка r, отличный от нуля, а всякий минор порядка больше r, равен нулю

.

Пример 6.1. . Найти r(A) по определению.

Ответ: r(А)=2

II. Вычисление ранга матрицы методом окаймления.

При нахождении ранга матрицы не надо перебирать все ее миноры, достаточно рассмотреть окаймляющие.

Минор по отношению к данному называется окаймляющим, если он содержит данный.

Правило:

1. Выбрать минор 1-го порядка отличный от нуля.

2. рассмотреть миноры 2-го порядка, окаймляющие минор 1-го порядка и найти среди них отличный от нуля (если такой ).

3. Найти минор 3-го порядка, окаймляющий минор 2-го порядка, отличный от нуля (если такой ).

и т. д.

Если найдется минор порядка r отличный от нуля, а все окаймляющие миноры порядка r+1 равны нулю (или их нельзя составить), то ранг матрицы A равен r .