Собственные векторы и собственные значения

Date: 2015-10-07; view: 414.

Опр.Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования А (матрицы А), если найдется такое число , что выполняется равенство

(1)

Число называется собственным значением линейного преобразования А, соответствующим собственному вектору .

Если линейное преобразование А в базисе имеет матрицу

А= ,

то равенство (1) можно записать в матричной форме

или , где Е – единичная матрица

, где , Х= .

Перейдем к координатной форме записи

. (2)

Для того чтобы эта однородная система n уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

=0 (3)

– характеристическое уравнение матрицы А.

Корни характеристического уравнения являются собственными значениями матрицы А (характеристические числа).

Каждому собственному значению соответствует собственный вектор, координаты которого находят из системы (2) при соответствующем значении .

Пример 11.1Найти собственные значения и собственные векторы матрицы. А =

Пример 11.2Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

А=

Опр. Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если а_ij=a_ji.

Все корни характеристического уравнения симметричной матрицы действительны.

Теорема. Для того чтобы матрица А в некотором базисе была диагональной необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов матрицы А.

, где Т – матрица, столбцы которой состоят из собственных векторов.