II.Преобразования координат при переходе к новому базису.

Date: 2015-10-07; view: 468.

I.Основные понятия

Линейные отображения. Преобразования координат.

Пусть в плоскости Р задана прямоугольная система координат.

Координаты точек вместо х, у будем обозначать х₁, х₂ или у₁, у₂.

Пусть (1) – уравнения, связывающие переменные х₁,х₂ с переменными у₁, у₂. а₁₁, а₁₂, а₂₁,а₂₂ – постоянные.

Каждой т. М Р с координатами х₁,х₂ соответствует единственная т. N Р с координатами у₁,у₂, которые определяются по (1).

Точка N называется образом точки М. Если точка М описывает на плоскости Р некоторую линию L, то ее образ также описывает некоторую линию.

С помощью (1) устанавливается отображение или преобразование плоскости Р в себя. Это отображение называется линейным.

Обозначим А = ; Х = ; У = .

Тогда Y = A ( ) – запись (1) в матричной форме.

А = – матрица линейного отображения

– определитель линейного отображения

– координаты образа вектора при линейном отображении, заданном матрицей А.

Если матрица А – невырожденная, т.е. , то отображение называется невырожденным или афинным.

Если , то отображение называется вырожденным.

Если отображение невырожденное (афинное), то из (1) по формулам Крамера получим:

;

(2)

По (1):

По (2): ед. т. М (х₁,х₂).

Итак, невырожденное (афинное) отображение определяет взаимно-однозначное отображение плоскости Р в себя.

Из (2) следует, что обратное отображение тоже невырожденное, а его матрица есть матрица, обратная А, т.е.

.

Формулы (2) можно получить другим способом:

Умножим (1¢) на А^-1:

Замечание. В трехмерном пространстве линейное отображение определяется системой уравнений.

– в матричном виде.

При аффинном (невырожденном) отображении образом плоскости является плоскость, а образом прямой – прямая.

Пусть в n-мерном линейном (векторном) пространстве Rⁿ заданы два базиса:

(старый)

(новый)

Векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса следующим образом:

+ +…+

= + + …+

…………………………………..

= + +…+

Опр. Матрица А= называется матрицей перехода от старого базиса , ,…, к новому (или матрицей линейного преобразования). Матрица А – невырожденная (иначе – линейно зависимы, что противоречит определению базиса). Значит для матрицы А обратная А^-1.

Рассмотрим как связаны координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах.

Пусть x₁,…,x_n – координаты в старом базисе

,…, – координаты в новом базисе .

= .

Можно доказать:

, где А – матрица перехода от ,…, к .

или

= А^-1

Эти формулы называются формулами преобразования координат.

Пример 10.1 Пусть вектор имеет координаты (1,-2) в базисе .

Найти координаты этого вектора в базисе , .