Матрицы

Date: 2015-10-07; view: 497.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, а именно:

( 7 )

В случае матрица называется квадратной n-го порядка.

Студенту необходимо повторить операции сложения матриц одинакового размера, умножения матрицы на число, умножения матриц, а также свойства этих операций. Здесь мы ограничимся одним примером на умножение матриц.

Пример. Найти произведения матриц

.

Первые две из них являются квадратными матрицами второго порядка, третья представляет собой матрицу-столбец, или матрицу размера .

Имеем

,

,

.

Важное значение для последующего имеет так называемая обратная мат-рица.

Матрица называется обратной для матрицы , если выполняется двойное матричное равенство

, ( 8 )

где E единичная матрица (у которой, как известно, все элементы главной диагонали – единицы, а остальные элементы равны нулю).

Обратная матрица данной квадратной матрицы с отличным от нуля определителем , или , находится с помощью простой формулы. Например, для квадратной матрицы третьего порядка

( 9 )

обратная матрица равна

, ( 10 )

. ( 11 )

Таким образом, обратная матрица матрицы находится по следующему правилу:

а) вычисляется определитель данной матрицы;

б) все элементы матрицы заменяются их алгебраическими дополнени-ями, и матрица алгебраических дополнений транспонируется;

в) полученная матрица делится на определитель данной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

.

а) Определитель матрицы равен

;

б) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы

следовательно, матрица алгебраических дополнений и ее транспонированная соответственно равны

, ;

в) искомая обратная матрица равна

.

Полученный результат необходимо проверить, а именно показать, что равенство (8), определяющее обратную матрицу, выполняется. Другими словами нужно доказать, что

Докажем первое равенство (второе докажите самостоятельно). Имеем:

.