Системы линейных однородных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 463.

Если в системе линейных алгебраических уравнений все свободные члены равны нулю,

( 20 )

она называется системой линейных однородных уравнений, или однородной системой линейных уравнений.

Матрица системы и расширенная матрица

системы линейных однородных уравнений (20) имеют одинаковые ранги (почему?). Следовательно, такая система всегда совместна, например, она имеет нулевое (очевидное, или тривиальное) решение

.

Отсюда возникает основной вопрос: при каких условиях система (20) имеет ненулевые решения.

Пусть , и - базисный минор матрицы А (напомним, что таких миноров может быть несколько, и мы можем взять любой из них). Оставляя только базисные уравнения и отбрасывая небазисные, мы получаем систему уравнений с n неизвестными.

Если количество неизвестных n = k, система имеет только тривиальное решение, так как ее главный определитель отличен от нуля, а все вспомогательные определители равны нулю.

Если n > k, система имеет свободных неизвестных, а следовательно - бесконечное множество решений. Можно получить ее общее решение уже изложенным выше методом. Но факт однородности системы позволяет пойти немного дальше, основываясь на свойствах ее решений. Именно,

а) если - решение системы (20), то его произведение на любое число , то есть , также является решением;

б) если - два решения системы (20), то их сумма, то есть , также является решением.

Попробуйте доказать эти два свойства самостоятельльно.

Названные свойства решений лежат в основе теоремы, согласно которой все решения системы линейных однородных уравнений (20) могут быть получены из так называемой фундаментальной системы решений.Последнюю можно создать, последовательно приписывая значения

свободным неизвестным, входящим в общее решение системы.

Пример. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных однородных уравнений:

Матрица системы

имеет ранг k = 2 (проверьте!), в качестве базисного минора мы можем выбрать следующий

,

так что базисными уравнениями и неизвестными являются первые два. Мы отбрасываем третье и четвертое уравнения и переносим свободные неизвестные направо,

Общее решение системы имеет вид (проверьте!)

.

Полагая последовательно в общем решении, мы получаем фундаментальную систему решений, а именно:

,

или (умножая оба ее решения на 17)

.