Собственные значения и собственные векторы матрицы

Date: 2015-10-07; view: 497.

Пусть M – множество всех n-мерных векторов-столбцов, а именно множество всех матриц-столбцов размера , и отображение f множества M в себя, определенное квадратной матрицей n-го порядка

.

Это означает что каждому вектору

матрица А ставит в соответствие единственный вектор

такой, что

. ( 21 )

Во многих приложениях, в том числе экономических, часто возникает следующий вопрос: существует ли ненулевой вектор X (собственный вектор), для которого

, ( 22 )

где - некоторое число (собственное значение)?

1. Известно, что собственные значения находятся как корни следующего уравнения

. ( 23 )

Последнее (после раскрытия определителя) является алгебраическим уравнением n-ой степени относительно .

2. Для каждого корня уравнения (23) (то есть для каждого собственного значения) один или несколько соответствующих собственных векторов находят, решая следующее матричное уравнение

,

или (в развернутом виде)

( 24 )

- систему линейных однородных уравнений относительно . На основании (23) ранг ее матрицы меньше n.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка

.

Шаг 1. Находим собственные значения матрицы А. На основании формулы (23) мы должны решить уравнение

.

Раскрывая определитель, имеем

Полученное кубическое уравнение имеет три различных корня

Шаг 2.1. Для мы на основании (24) должны решить следующую систему линейных однородных уравнений

Матрица системы

имеет ранг 2, так как ее определитель (он же единственный минор 3-го порядка) равен нулю, а, например, минор 2-го порядка

отличен от нуля. Взяв этот минор в качестве базисного, мы определяем первое и третье уравнения, первые два неизвестных как базисные, а третье неизвестное как свободное, откуда

Полагая , мы находим значения и собственный вектор, соответствующий собственному значению , а именно

.

Шаг 2.2. Для мы аналогично имеем

Базисными уравнениями и неизвестными здесь являются первые и третьи, а свободным неизвестным - . Следовательно,

Полагая , получаем и второй собственный вектор

.

Шаг 2.3. Наконец, для мы таким же образом получаем третий собственный вектор

Ответ: собственные векторы, соответствующие собственным значениям , соответственно равны

, ,

Вопросы для самопроверки
по темам "Системы линейных уравнений" и "Матрицы"

1. Что называется решением системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными?

2. Дать определения совместной и несовместной систем уравнений.

3. Сформулировать правило Крамера для решения системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

4. При каких условиях система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет бесконечное множество решений?

4. В чем состоит сущность метода Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений? Чем отличается от него метод Жордана – Гаусса?

5. Дать определение обратной матрицы.

6. Сформулировать правило нахождения обратной матрицы для данной квадратной матрицы с отличным от нуля определителем.

7. В чем состоит суть матричного метода для решения системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными?

8. Дать определение ранга матрицы.

9. Что такое элементарные преобразования матрицы? В чем состоит их польза?

10. Сформулировать теорему Кронекера – Капелли об условии совместности системы линейных алгебраических уравнений.

11. Что такое базисный минор, базисные уравнения и базисные неизвестные и как они используются для решения систем линейных алгебраических уравнений?

12. Что такое общее решение системы линейных алгебраических уравнений и в каком случае оно возникает?

13. Что такое система линейных однородных алгебраических уравнений?

14. Сформулировать свойства решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

15. В каком случае система линейных однородных алгебраических уравнений может иметь только тривиальное (нулевое) решение?

16. Указать случай, когда такая система имеет бесконечное множество решений. Как получить фундаментальную систему решений системы в этом случае?

17. Что такое собственное значение и собственный вектор матрицы?

18. Как ищутся собственные значения матрицы?

19. Как искать собственный вектор, соответствующий данному собственному значению?