Уравнение линии. Окружность

Date: 2015-10-07; view: 1112.

ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Аналитическая геометрия – ветвь математики, где геометрические задачи решаются аналитическими методами. В основе всех этих методов лежит кон-цепция системы координат (метод координат). Основы аналитической геомет-рии были заложены Виетом[6], Ферма[7] и Декартом[8].

Пусть на плоскости задана так называемая декартова прямоугольная система координат, образованная двумя взаимно пер-пендикулярными осями с одинаковыми едини-цами измерения на них (рис. 1). Приведем сначала при-меры применения координатного метода к двум прос-тым задачам.

Рис. 1 Пример. Найти расстояние между двумя данными точками и , которые заданы своими координатами (рис. 1).

По теореме Пифагора

,

откуда

. ( 1 )

Пример. Найти координаты точки которая делит отрезок к концами в данном от-
Рис. 2 ношении , то есть (рис. 2)

.

На основании соответствующей геометрической теоремы

.

Таким образом,

. ( 2 )

Если, в частности, точка делит отрезок пополам, то λ = 1, и соответствующие координаты точки будут равны

Определение.Уравнение вида

( 3 )

называется уравнением линии L на плоскости , (см.
Рис. 3 рис. 3), если координаты любой точки линии, и только координаты таких точек, удовлетворяют ему.

Например, точка принадлежит, а точка не принадлежит линии, заданной уравнением

,

так как , а .

Точка - произвольная [или текущая] точка ли-нии L, и ее координаты также называются текущими. Уравне-ние любой линии должно содержать хотя бы одну текущую координату.

Пример. Окружность радиуса R с центром в точке
Рис. 4 (рис. 4) задается уравнением

, ( 4 )

которое обычно называется ее каноническимуравнением.

В частности, уравнение

( 5 )

является уравнением окружности радиуса R с центром в начале координат. Разрешая его относительно y, а затем относительно x, получаем

a) уравнение нижней полуокружности ;

b) уравнение верхней полуокружности ;

c) уравнение левой полуокружности ;

d) уравнение правой полуокружности .
Пример. Выяснить, какую линию задает уравнение

.

Дополняя до полных квадратов,

,

,

Получаем уравнение окружности радиуса с центром .

Чтобы найти точки пересечения двух линий , представленных уравнениями

,

достаточно решить систему уравнений

( 6 )