ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Date: 2015-10-07; view: 444.

Общее уравнение кривой второго порядка (1) может быть приведено к каноническому виду с помощью преобразования координат.

Рассматриваются два типа преобразований координат: 1) параллельный перенос координатных осей, когда новое начало координат помещается в точку с координатами в старой системе координат, а новые оси параллельны старым осям Ox, Oy соответственно (рис. 22); 2) поворот координатных осей на угол a около начала координат O с появлением новых координатных осей (рис. 23).

Пусть x, y – координаты точки M в системе координат xOy (старые координаты), а - координаты той же самой точки M в новой системе координат (новые координаты). Необходимо установить связь между старыми и новыми координатами.

В случае параллельного переноса координатных осей такая связь очевидна (см. рис. 22):

( 21 )

Рис. 22

Рис. 23

В случае поворота координатных осей мы поступаем следующим образом (рис. 23):

Таким образом,

( 22 )

Формулы (24) представляют собой линейное преобразование неизвестных с матрицей

Так что мы можем написать

.

Пример. Установить вид линии .

Осуществим параллельный перенос (21) координатных
Рис. 24 осей с пока неизвестными координатами нового начала . Заменяя x и y на получим

.

Выберем значения таким образом, чтобы аннулировать коэффициент при и свободный член,

.

Следовательно, формулы параллельного переноса координатных осей суть

и данное уравнение в новой системе координат преобразуется в уравнение параболы

(рис. 24).

Пример. Полагая

Рис. 25 в уравнении

,

то есть производя параллельный перенос координатных осей

,

мы узнаем каноническое уравнение эллипса

в системе координат (рис. 25).

Пример. Рассмотрим известное из школы уравнение гиперболы

и произведем поворот (22) координатных осей на пока неиз-
Рис. 26 вестный угол a,

,

.

Выберем угол поворота так, чтобы аннулировать выражение в скобках, а именно . Следовательно,

.

В системе координат наша гипербола имеет каноническое уравнение. Оси Ox, Oy являются ее асимптотами.