СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КРИВЫХ

Date: 2015-10-07; view: 443.

Кривая может быть задана в декартовых или полярных координатах.

1. В декартовых координатах она может быть представлена:

a) явным уравнением, разрешенным относительно y или x (например, параболы

или полуокружности

);

b) неявным уравнением, не разрешенным относительно y или x (напри-мер, канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы);

c) параметрически, уравнениями (параметрическими уравнениями) вида

,

где t – некоторая вспомогательная переменная, так называемый параметр.

2. О задании кривых в полярных координатах мы подробно говорили выше.

Приведем несколько примеров кривых, заданных параметрически.

Пример. Параметрические уравнения окружности

радиуса r с центром в начале координат (см. рис. 27) суть

, ( 23 )

где t – угол между радиусом OM и осью Ox, а - произвольная точка окружности.

Пример. Параметрические уравнения эллипса

суть следующие

. ( 24 )

■Пусть . Рассмотрим две окружности радиусов a, b с центром в начале координат (рис. 28). Для любой точки эллипса (для простоты мы берем ее в первом квадранте)

.■

Проверьте сами, что вершины эллипса соответствуют значениям параметра t.

Пример. Астроидой называется траектория точки окружности радиуса r, вращающейся вдоль внутренней стороны окружности радиуса (рис. 30). Параметрические уравнения астроиды

. ( 25 )

t
x	a	0.65a	0.35a	0.13a
y		0.13a	0.35a	0.65a	a
Точка	A	B	C	D	E

Она имеет также неявное уравнение

. ( 26 )

На рис. 29 мы показали построение первой части астроиды с помощью таблицы

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Пример. Циклоидой называется траектория точки окружности, вращающейся вдоль прямой без скольжения (рис. 31). Если a – радиус окружности, то параметрические уравнения циклоиды

, ( 27 )

где t – угол поворота радиуса MC вращающейся окружности.

■Из рис. 31 мы видим, что для произвольной точки циклоиды

■

Пример. Параметрические уравнения так называемой эвольвенты окружности радиуса a с центром в начале координат (рис. 32)

( 28 )

Рис. 31

Рис. 32

Вопросы для самопроверки
по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"

1. Сформулировать определение линии.

2. Что такое текущие координаты?

3. Как найти точки пересечения двух линий?

4. Записать уравнение окружности данного радиуса с центром: а) в начале координат; б) в произвольной точке.

5. Как, имея уравнение окружности, написать уравнения ее левой, правой, нижней и верхней полуокружностей?

6. Что такое угловой коэффициент прямой?

7. Перечислить и записать основные уравнения прямой (на плоскости).

8. Как найти угловой коэффициент прямой, заданной: а) двумя известными ее точками; б) ее общим уравнением.

9. Сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

10. Сформулировать необходимое и достаточное условие перпендикуляр-ности двух прямых.

11. Сформулировать определение эллипса, написать его каноническое урав-нение, указать координаты фокусов и вершин, написать формулу для на-хождения эксцентриситета. Изобразить эллипс.

12. Тот же вопрос для гиперболы

13. Дать определение параболы, написать ее каноническое уравнение