Общие уравнения прямой

Date: 2015-10-07; view: 463.

Прямая может быть задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

Пусть

,

- две непараллельные плоскости, то есть их нормальные векторы неколлинеарны. В этом случае система двух линейных уравнеий

( 23 )

представляет прямую l как линию пересечения плоскостей (рис. 12). Уравнения (23) называются общими уравнениями прямой.

Легко перейти от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям.
Рис. 12 Пусть, например,

.

В этом случае мы полагаем в общих уравнениях (23) и получаем систему уравнений относительно x и y

С отличным от нуля главным определителем. Находя из этой системы x, y, мы получаем параметрические уравнения прямой.

Существует иной способ перехода от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим. Мы можем найти направляющий вектор прямой

(рис. 12)

и затем какую-нибудь ее точку, полагая, например, в уравнениях (23).

Пример. Перейти к параметрическим и каноническим уравнениям прямой, заданной общими уравнениями

Первый способ. Полагая , получаем систему уравнений относительно x, y

,

,

и параметрические уравнения прямой суть

( * )

Из уравнений ( * ) мы получаем точку прямой и ее направляющий вектор .

Мы можем улучшить полученные уравнения ( * ). Во-первых, мы можем взять направляющий вектор прямой в виде и получить

Полагая далее , мы получаем точку прямой с целыми координатами
. Наконец, мы записываем усовершенствованные параметрические и канонические уравнения прямой

.

Второй способ. Направляющий вектор прямой

.

Полагая далее в общих уравнениях прямой и решая систему уравнений

получаем точку прямой и составляем искомые уравнения

Угол между двумя прямыми
Условия параллельности и перпендикулярности

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами,

,

и, следовательно,

. ( 24 )

Две прямые параллельны тогда и только тогда, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть

. ( 25 )

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, если их направляю-щие векторы перпендикулярны, именно:

. ( 26 )

Пример. Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно прямой

В качестве направляющего вектора искомой прямой мы можем взять направляющий вектор данной прямой. Последний коллинеарен векторному произведению нормальных векторов , плоскостей, определяющих данную прямую (рис. 12). Итак,

,

на основании чего получаем параметрические и канонические уравнения искомой прямой

.

Пример. Доказать, что прямые

Не параллельны и лежат в одной плоскости (рис. 13). Составить уравнение этой плоскости. Найти точку пересечения прямых.

Уравнения прямых дают нам точку и направляющий вектор прямой , точку и направляющий вектор прямой .

Рис. 13 Векторы не коллинеарны, и поэтому прямые не параллельны.

Далее, вектор и векторное произведение направляющих векторов прямых

перпендикулярны ( ), а это означает, что прямые лежат в одной плоскости . Ее нормальный вектор и уравнение по-лучаем обычным путем,

Чтобы найти точку пересечения прямых, запишем сначала параметрические уравнения второй прямой , используя другой параметр, например, ,

Приравниваем далее правые части двух первых уравнений обеих прямых

и решаем полученную систему уравнений относительно t и

Получаем . Подставляя в уравнения первой прямой или в уравнения второй, мы находим координаты точки пересечения прямых, именно .

Пример (для самостоятельного решения). Доказать, что прямые

параллельны, и составить уравнение плоскости, в которой они обе находятся.