Пересечение прямой с плоскостью (и поверхностью)

Date: 2015-10-07; view: 438.

ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ПРЯМАЯ

Пусть дана плоскость, заданная общим уравнением

,( 27 )

и прямая, заданная своими параметрическими уравнениями

( 28 )

Для отыскания возможной точки пересечения прямой и плоскости заменим в уравнении (27) значения x, y, z их значениями из уравнений (28), что даст нам уравнение относительно t,

,

. ( 29 )

При рассмотрении последнего уравнения могут представиться три случая.

1) .

В этом случае мы решаем уравнение (29) относительно t,

;

далее замена t на в уравнениях (28) дает координаты искомой точки пересечения.

2) , но .

В этом случае точка пересечения отсутствует, прямая параллельна плоскости, но не лежит в ней.

3) и .

В этом последнем случае точка лежит в плоскости, так как ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости.

Таким же образом мы можем искать возможные точки пересечения прямой с произвольной поверхностью. Например, если поверхностью является сфера радиуса R с центром в точке ,

,

мы получаем следующее уравнение относительно t:

или

Последнее уравнение является квадратным относительно t и может иметь два, одно или ни одного решения. Соответственно мы получаем две, одну (случай касания прямой и сферы) или ни одной точки пересечения.

Пример. Найти точку пересечения прямой

и плоскости .

Сначала мы записываем параметрические уравнения прямой

а затем действуем следующим образом:

.

Ответ. Прямая пересекает плоскость в точке .