Условия параллельности и перпендикулярности

Date: 2015-10-07; view: 523.

Угол между пространственной прямой и плоскостью

Как известно, углом между прямой l и плоскостью называется угол между этой прямой и ее (ортогональ-ной) проекцией на плоскость.
Пусть

-- соответственно направляющий вектор прямой l и нормальлный вектор плоскости соответственно (рис. 14). Как
Рис. 14 видно из рисунка, угол между l и определяется одной из двух формул

или ,

откуда получаем

,

. ( 30 )

Прямая и плоскость параллельнытогда и только тогда, если их направляющий и нормальный векторы перпендикулярны, то есть

. ( 31 )

Прямая и плоскость перпендикулярнытогда и только тогда, если их направляющий и нормальный векторы коллинеарны, то есть

. ( 32 )

Пример. Найти точку, симметричную точке относительно прямой (рис. 15)

.

Найти проекцию точки P на прямую и расстояние точки от прямой.
Рис. 15 1) В качестве первого шага мы запишем уравнение плоскости , проходящей через точку P перпендикулярно данной прямой l. В качестве нормального вектора плоскости возьмем направляющий вектор прямой l : , откуда

.

2) Теперь мы находим точку пересечения M плоскости и прямой l,

,

Найденная точка M является проекцией точки P на прямую l. Расстояние между точками M и P является расстоянием от точки P до прямой l (найдите его сами).

3) Наконец, мы находим искомую точку Q, учитывая, что точка M делит отрезок пополам. Получаем

Ответ. Искомая точка .

Пример. Найти точку Q, которая симметрична точке относительно плоскости (рис. 16).

План решения задачи.
Рис. 16 1) Составляем параметрические уравнения прямой l, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости .
2) Находим точку пересечения M прямой l и плоскости .

3) Находим координаты искомой точки Q, принимая во внимание, что точка M является серединой отрезка PQ.

Осуществление плана.

1) В качестве направляющего вектора прямой l возьмем нормальный вектор плоскости , откуда получаем параметрические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости ,

2) Подставляем правые части полученных уравнений в уравнение плоскости,

Найденное значение t подставляем в параметрические уравнения прямой, получая координаты точки М,

3) Наконец, находим координаты искомой точки Q,

Пример. Составить уравнения высоты DE боковой грани ABD треугольной пирамиды с известными вершинами

(см. рис. 17).

План решения задачи.

1) Запишем параметрические уравнения прямой AB как прямой, проходящей через две точки, а именно, точ-ки A и B.

2) Составим уравнение плоскости , проходящей
Рис. 17 через точку D перпендикулярно прямой AB.

3) Найдем точку пересечения E прямой AB и плос-кости .
4) Составим уравнения искомой высоты DE как прямой, проходящей через две точки, а именно, точки D и E.

Осуществление плана.

1)

2) Чтобы составить уравнение плоскости , возьмем в качестве ее нормального вектора направляющий вектор прямой АВ:

3) Находим точку пересечения прямой и плоскости :

4) Составляем, наконец, параметрические и канонические уравнения искомой высоты боковой грани:

Вопросы для самопроверки
по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"

1. Сформулировать определение уравнения поверхности.

2. Записать уравнение сферы данного радиуса с центром: а) в произвольной точке; б) в начале координат.

3. Записать уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.

4. Что такое нормальный вектор плоскости?

5. Записать общее уравнение плоскости.

6. Как найти нормальный вектор плоскости, проходящей через три данные точки?

7. Что достаточно знать, чтобы составить уравнение плоскости?

8. Как найти расстояние от данной точки до плоскости?

9. Дать определение угла между двумя плоскостями. Как его найти?

10. Сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей.

11. Сформулировать необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

12. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору.

13. Что такое направляющий вектор прямой?

14. Как найти направляющий вектор прямой, проходящей через две данные точки? Записать параметрические и канонические уравнения такой прямой.

15. Записать общие уравнения прямой. Как перейти от них к параметрическим и каноническим уравнениям?

16. Что достаточно знать, чтобы составить уравнения прямой?

17. Сформулировать определение угла между двумя прямыми. Как его найти?

18. Сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

19. Сформулировать необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

20. Что нужно сделать для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости?

21. Сформулировать определение угла между прямой и плоскостью. Как его найти?

22. Сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости.

23. Сформулировать необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости.