Запишите формулу Муавра.

Date: 2015-10-07; view: 416.

zⁿ=|z|ⁿ(cosnφ+sinnφ);

= (cos(φ+2πk/n)+isin(φ+2πk/n)) k=0,1,…,n-1.

Корень n-ой степени из комплексного числа принимает n-1 значений.

Формула Муавра применяется для вычисления N-ой степени комплексного числа. Z ⁿ = |Z|ⁿ ( cos nα + i sin nα ). Корнем N-ой степени из комплексного числа Z называется такое число U, что Uⁿ = Z.

Где K = 0, 1, … , N – 1.

Корень N-ой степени из комплексного числа принимает N значений. Комплексные числа, являющиеся корнями степени N из комплексного числа Z , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного N-угольника, вписанного в окружность радиусом корень N-ой степени из модуля с центром в точке Z=0.

17. Сформулируйте основную теорему алгебры. Решите уравнение х³-64=0

Основная теорема алгебры–теорема о комплексных числах. Комплексное число Z = a + ib, где a и b – действительные числа; слагаемые a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей. Комплексные числа вводятся в связи с необходимостью решать уравнения вида X² + 1 = 0.

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней). У данного уравнения на множестве комплексных чисел существует 3 корня. Чтобы их найти, представлю 64 в тригонометрической форме:

64=64(cos0+isin0).

Тогда x_k=³√64(cos(0+2πk/3)+isin(0+2πk/3))=

=4(cos2πk/3+isin2πk/3); k=0,1,2. т. е.

x₀=4(cos0+isin0)=4

x₁=4(cos2π/3+isin2π/3)=-2+2i√3

x₂=4(cos4π/3+isin4π/3)=-2-2i√3