Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

Date: 2015-10-07; view: 448.

Сформулируйте определение линейного преобразования.

Отображение линейного пространства V в себя называется линейным преобразованием, если для любых векторов x, y, принадлежащих V, для любого lÎR выполняются равенства: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2) f(lx)= lf(x).

Симметричное отображение относительно прямой x+y=0 в е².

е₁=0*е₁-1*е₂

е₂=-1*е₁+0*е₂

Линейное отображение удовлетворяет двум условиям линейности. 1) А(У1+У2)=АУ1+АУ2 У- прообраз, V- образ 2) любому вектору У принад. У и любому V любому V: А(λУ)= λАУ. Из условия 1 и 2 следует, что линейное отображение всякой лин. комбинации λ1У1+ λ2У2+….. будет являться линейным отображением.

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если существует ненулевой вектор-столбец R , такой, что А =λ .

Векторы x линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования V, если выполняется равенство f(x)= lx, где l - некоторое число. при этом l называется собственным значением линейного преобразования в A^-1x=1/l*x.

Доказательство: Ax=lx ç*A^-1

A^-1(Ax)=A^-1(lx)

x=l(A^-1x) A^-1x=1/l*x,